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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Vierundzwanzigste Vorlesung.
es natürlicher erschiene, umgekehrt das Kontrapositionstheorem für
Gleichungen:
32) (a = b) = (a1 = b1)
kraft Def. (1) auf dasjenige 37) für Subsumtionen zu gründen. Zum
mindesten ist es wünschenswert, jenes auf dieses auch gründen zu
können.

Die gerügte Unvollkommenheit kam mir früh zum Bewusstsein. Die-
selbe entsprang daraus, dass ich mich lange Zeit ganz vergeblich bemühte,
den von Herrn Peirce5 p. 27 für das Th. 37) gegebnen "Beweis" zu ver-
stehen, woran dessen Darstellung nicht ohne Schuld ist. Wäre ich statt
dessen zeitig darauf ausgegangen, selbst einen Beweis aufzusuchen, so würde
mir der Erfolg wohl früher zuteil geworden sein. Zuletzt fand ich zwei
einander dual entsprechende sehr einfache Beweise, deren einer sich aber
als zusammenfallend mit dem Kern des Peirce'schen Beweises erwies, als
dieser selbst also, gewissermassen befreit von verdunkelndem Beiwerk.

Die fragliche Verbesserung ist aber darum von besondrer Wichtig-
keit, weil sie es erst ermöglichen wird, auch höchst beachtenswerte
Beweise von noch andern Sätzen, nämlich den De Morgan'schen
Theoremen 36), in den Lehrgang aufzunehmen, bei denen solches bis-
lang ohne Zirkelschluss nicht angängig gewesen ist.

Das ersehnte Ziel lässt sich in der That sehr einfach erreichen,
wenn man die Reihenfolge der Theoreme 36), 37), 38) in die entgegen-
gesetzte verwandelt.

Um keine Verwirrung bei den Citaten zu verursachen, werde ich in-
dessen die bisherigen Chiffren der Sätze beibehalten. -- Wenn ich von neuem
zu chiffriren hätte, würde ich überdies vorziehen, den Satz 35) "vom Dualismus"
unchiffrirt zu lassen, da derselbe, ohnehin -- vergl. S. 33 oben -- von
anderer Natur als die übrigen "Theoreme", eine Art von zunächst nur
empirisch anerkanntem "Prinzip" statuirt.*)

Das Theorem
38) (1 a1 + b) = (a b) = (a b1 0)
lässt sich in der That ohne weiteres -- z. B. dicht hinter das Th. 35) --
vorannehmen. Denn in Bd. 1, S. 358 haben wir dazu Beweise gegeben,
die nur die Theoreme 5), 15), 16), 20), 21), IIIx oder 27) und 30)
voraussetzten.

Wenn wir uns nun also schon hierauf berufen dürfen, so kann
jetzt angereiht werden das Theorem:
37) (a b) = (b1 a1)
mit den folgenden beiden Beweisen:

*) Hierzu die Anmerkung des Herausgebers am Schlusse dieses Bandes.

Vierundzwanzigste Vorlesung.
es natürlicher erschiene, umgekehrt das Kontrapositionstheorem für
Gleichungen:
32) (a = b) = (a1 = b1)
kraft Def. (1) auf dasjenige 37) für Subsumtionen zu gründen. Zum
mindesten ist es wünschenswert, jenes auf dieses auch gründen zu
können.

Die gerügte Unvollkommenheit kam mir früh zum Bewusstsein. Die-
selbe entsprang daraus, dass ich mich lange Zeit ganz vergeblich bemühte,
den von Herrn Peirce5 p. 27 für das Th. 37) gegebnen „Beweis“ zu ver-
stehen, woran dessen Darstellung nicht ohne Schuld ist. Wäre ich statt
dessen zeitig darauf ausgegangen, selbst einen Beweis aufzusuchen, so würde
mir der Erfolg wohl früher zuteil geworden sein. Zuletzt fand ich zwei
einander dual entsprechende sehr einfache Beweise, deren einer sich aber
als zusammenfallend mit dem Kern des Peirce’schen Beweises erwies, als
dieser selbst also, gewissermassen befreit von verdunkelndem Beiwerk.

Die fragliche Verbesserung ist aber darum von besondrer Wichtig-
keit, weil sie es erst ermöglichen wird, auch höchst beachtenswerte
Beweise von noch andern Sätzen, nämlich den De Morgan’schen
Theoremen 36), in den Lehrgang aufzunehmen, bei denen solches bis-
lang ohne Zirkelschluss nicht angängig gewesen ist.

Das ersehnte Ziel lässt sich in der That sehr einfach erreichen,
wenn man die Reihenfolge der Theoreme 36), 37), 38) in die entgegen-
gesetzte verwandelt.

Um keine Verwirrung bei den Citaten zu verursachen, werde ich in-
dessen die bisherigen Chiffren der Sätze beibehalten. — Wenn ich von neuem
zu chiffriren hätte, würde ich überdies vorziehen, den Satz 35) „vom Dualismus“
unchiffrirt zu lassen, da derselbe, ohnehin — vergl. S. 33 oben — von
anderer Natur als die übrigen „Theoreme“, eine Art von zunächst nur
empirisch anerkanntem „Prinzip“ statuirt.*)

Das Theorem
38) (1 a1 + b) = (a b) = (a b1 0)
lässt sich in der That ohne weiteres — z. B. dicht hinter das Th. 35) —
vorannehmen. Denn in Bd. 1, S. 358 haben wir dazu Beweise gegeben,
die nur die Theoreme 5), 15), 16), 20), 21), III× oder 27) und 30)
voraussetzten.

Wenn wir uns nun also schon hierauf berufen dürfen, so kann
jetzt angereiht werden das Theorem:
37) (a b) = (b1 a1)
mit den folgenden beiden Beweisen:

*) Hierzu die Anmerkung des Herausgebers am Schlusse dieses Bandes.
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[402/0046] Vierundzwanzigste Vorlesung. es natürlicher erschiene, umgekehrt das Kontrapositionstheorem für Gleichungen: 32) (a = b) = (a1 = b1) kraft Def. (1) auf dasjenige 37) für Subsumtionen zu gründen. Zum mindesten ist es wünschenswert, jenes auf dieses auch gründen zu können. Die gerügte Unvollkommenheit kam mir früh zum Bewusstsein. Die- selbe entsprang daraus, dass ich mich lange Zeit ganz vergeblich bemühte, den von Herrn Peirce5 p. 27 für das Th. 37) gegebnen „Beweis“ zu ver- stehen, woran dessen Darstellung nicht ohne Schuld ist. Wäre ich statt dessen zeitig darauf ausgegangen, selbst einen Beweis aufzusuchen, so würde mir der Erfolg wohl früher zuteil geworden sein. Zuletzt fand ich zwei einander dual entsprechende sehr einfache Beweise, deren einer sich aber als zusammenfallend mit dem Kern des Peirce’schen Beweises erwies, als dieser selbst also, gewissermassen befreit von verdunkelndem Beiwerk. Die fragliche Verbesserung ist aber darum von besondrer Wichtig- keit, weil sie es erst ermöglichen wird, auch höchst beachtenswerte Beweise von noch andern Sätzen, nämlich den De Morgan’schen Theoremen 36), in den Lehrgang aufzunehmen, bei denen solches bis- lang ohne Zirkelschluss nicht angängig gewesen ist. Das ersehnte Ziel lässt sich in der That sehr einfach erreichen, wenn man die Reihenfolge der Theoreme 36), 37), 38) in die entgegen- gesetzte verwandelt. Um keine Verwirrung bei den Citaten zu verursachen, werde ich in- dessen die bisherigen Chiffren der Sätze beibehalten. — Wenn ich von neuem zu chiffriren hätte, würde ich überdies vorziehen, den Satz 35) „vom Dualismus“ unchiffrirt zu lassen, da derselbe, ohnehin — vergl. S. 33 oben — von anderer Natur als die übrigen „Theoreme“, eine Art von zunächst nur empirisch anerkanntem „Prinzip“ statuirt. *) Das Theorem 38) (1 a1 + b) = (a b) = (a b1 0) lässt sich in der That ohne weiteres — z. B. dicht hinter das Th. 35) — vorannehmen. Denn in Bd. 1, S. 358 haben wir dazu Beweise gegeben, die nur die Theoreme 5), 15), 16), 20), 21), III× oder 27) und 30) voraussetzten. Wenn wir uns nun also schon hierauf berufen dürfen, so kann jetzt angereiht werden das Theorem: 37) (a b) = (b1 a1) mit den folgenden beiden Beweisen: *) Hierzu die Anmerkung des Herausgebers am Schlusse dieses Bandes.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 402. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/46>, abgerufen am 24.04.2024.