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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

Beweis 1. (a b) = (1 a1 + b) = {1 (b1)1 + (a1)} = (b1 a1)
nach 38+), 31) und 38+), -- wobei wir durch die Klammer um a1 nur
darauf hinweisen wollten, dass a1 demnächst wie ein einfaches Symbol
angesehen werden möchte.

Beweis 2. Desgleichen hat man dual entsprechend
(a b) = (a b1 0) = {(b1) (a1)1 0} = (b1 a1)
nach 38x), 31) und 38x).

Schliesst man übrigens im Geiste des ersten Bandes noch verbal, also
ohne wirkliche Aussagenäquivalenzen zu statuiren, so wird man b1 a1
als Folgerung aus a b, also nur: (a b) (b1 a1) erhalten und dieses
(blos verbal angesetzte) Ergebniss nach demselben Schema in Verbindung
mit Th. 31): (b1 a1) {(a1)1 (b1)1} = (a b) auch als rückwärts
gültige Aussagensubsumtion nachzuweisen haben, mit der es sich erst zur
Aussagengleichung 37) gemäss der für Aussagen in Anspruch genommenen
Def. (1) zusammenzieht.

Mit jenem Th. 38) kann jetzt auch der Satz 37) der Kontraposition
ebenfalls noch vor das Th. 32) gestellt werden, und dann lässt sich
auch dieses Theorem
32) (a = b) = (b1 = a1)
der Kontraposition von Gleichungen nun kraft 37) aus
(a b) = (b1 a1)
(b a) = (a1 b1)

durch überschiebendes Multipliziren, oder die darauf hinauslaufenden
"Überlegungen in Worten" sofort beweisen.

Der erheblichste Gewinn aus der Umstellung der Sätze ist aber
der, dass wir jetzt auch die schönen Beweise in unsere Theorie auf-
nehmen können, welche Herr Peirce5 p. 37 für die De Morgan'schen
Theoreme 36) gibt. Allerdings muss zu dem Ende diesen Theoremen
auch ferner noch vorangestellt werden das Theorem 41) von Peirce
41) (a b c) = (a b1 + c).

Für dieses haben wir Bd. 1 S. 364 auch einen Beweis gegeben, welcher
von keinem späteren Satze als von Th. 33) Gebrauch machte, so dass
die Voranziehung auch dieses Satzes ohne weiteres angängig ist. Und
mehr in den Vordergrund der Theorie gerückt zu werden, als es in
Bd. 1 geschah, verdient auch dieses Th 41) schon seiner eminenten
Wichtigkeit halber, die z. B. auch in Bd. 3 deutlich zutage treten wird.
Bildet dasselbe doch ein Gegenstück zu den fundamentalen Definitionen (3).
Während nämlich letztere zeigen, wie eine Subsumtion, deren Prädikat
ein Produkt
, resp. deren Subjekt eine Summe ist, zerfällt werden kann in

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§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

Beweis 1. (a b) = (1 a1 + b) = {1 (b1)1 + (a1)} = (b1 a1)
nach 38+), 31) und 38+), — wobei wir durch die Klammer um a1 nur
darauf hinweisen wollten, dass a1 demnächst wie ein einfaches Symbol
angesehen werden möchte.

Beweis 2. Desgleichen hat man dual entsprechend
(a b) = (a b1 0) = {(b1) (a1)1 0} = (b1 a1)
nach 38×), 31) und 38×).

Schliesst man übrigens im Geiste des ersten Bandes noch verbal, also
ohne wirkliche Aussagenäquivalenzen zu statuiren, so wird man b1 a1
als Folgerung aus a b, also nur: (a b) (b1 a1) erhalten und dieses
(blos verbal angesetzte) Ergebniss nach demselben Schema in Verbindung
mit Th. 31): (b1 a1) {(a1)1 (b1)1} = (a b) auch als rückwärts
gültige Aussagensubsumtion nachzuweisen haben, mit der es sich erst zur
Aussagengleichung 37) gemäss der für Aussagen in Anspruch genommenen
Def. (1) zusammenzieht.

Mit jenem Th. 38) kann jetzt auch der Satz 37) der Kontraposition
ebenfalls noch vor das Th. 32) gestellt werden, und dann lässt sich
auch dieses Theorem
32) (a = b) = (b1 = a1)
der Kontraposition von Gleichungen nun kraft 37) aus
(a b) = (b1 a1)
(b a) = (a1 b1)

durch überschiebendes Multipliziren, oder die darauf hinauslaufenden
„Überlegungen in Worten“ sofort beweisen.

Der erheblichste Gewinn aus der Umstellung der Sätze ist aber
der, dass wir jetzt auch die schönen Beweise in unsere Theorie auf-
nehmen können, welche Herr Peirce5 p. 37 für die De Morgan’schen
Theoreme 36) gibt. Allerdings muss zu dem Ende diesen Theoremen
auch ferner noch vorangestellt werden das Theorem 41) von Peirce
41) (a b c) = (a b1 + c).

Für dieses haben wir Bd. 1 S. 364 auch einen Beweis gegeben, welcher
von keinem späteren Satze als von Th. 33) Gebrauch machte, so dass
die Voranziehung auch dieses Satzes ohne weiteres angängig ist. Und
mehr in den Vordergrund der Theorie gerückt zu werden, als es in
Bd. 1 geschah, verdient auch dieses Th 41) schon seiner eminenten
Wichtigkeit halber, die z. B. auch in Bd. 3 deutlich zutage treten wird.
Bildet dasselbe doch ein Gegenstück zu den fundamentalen Definitionen (3).
Während nämlich letztere zeigen, wie eine Subsumtion, deren Prädikat
ein Produkt
, resp. deren Subjekt eine Summe ist, zerfällt werden kann in

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[403/0047] § 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes. Beweis 1. (a b) = (1 a1 + b) = {1 (b1)1 + (a1)} = (b1 a1) nach 38+), 31) und 38+), — wobei wir durch die Klammer um a1 nur darauf hinweisen wollten, dass a1 demnächst wie ein einfaches Symbol angesehen werden möchte. Beweis 2. Desgleichen hat man dual entsprechend (a b) = (a b1 0) = {(b1) (a1)1 0} = (b1 a1) nach 38×), 31) und 38×). Schliesst man übrigens im Geiste des ersten Bandes noch verbal, also ohne wirkliche Aussagenäquivalenzen zu statuiren, so wird man b1 a1 als Folgerung aus a b, also nur: (a b) (b1 a1) erhalten und dieses (blos verbal angesetzte) Ergebniss nach demselben Schema in Verbindung mit Th. 31): (b1 a1) {(a1)1 (b1)1} = (a b) auch als rückwärts gültige Aussagensubsumtion nachzuweisen haben, mit der es sich erst zur Aussagengleichung 37) gemäss der für Aussagen in Anspruch genommenen Def. (1) zusammenzieht. Mit jenem Th. 38) kann jetzt auch der Satz 37) der Kontraposition ebenfalls noch vor das Th. 32) gestellt werden, und dann lässt sich auch dieses Theorem 32) (a = b) = (b1 = a1) der Kontraposition von Gleichungen nun kraft 37) aus (a b) = (b1 a1) (b a) = (a1 b1) durch überschiebendes Multipliziren, oder die darauf hinauslaufenden „Überlegungen in Worten“ sofort beweisen. Der erheblichste Gewinn aus der Umstellung der Sätze ist aber der, dass wir jetzt auch die schönen Beweise in unsere Theorie auf- nehmen können, welche Herr Peirce5 p. 37 für die De Morgan’schen Theoreme 36) gibt. Allerdings muss zu dem Ende diesen Theoremen auch ferner noch vorangestellt werden das Theorem 41) von Peirce 41) (a b c) = (a b1 + c). Für dieses haben wir Bd. 1 S. 364 auch einen Beweis gegeben, welcher von keinem späteren Satze als von Th. 33) Gebrauch machte, so dass die Voranziehung auch dieses Satzes ohne weiteres angängig ist. Und mehr in den Vordergrund der Theorie gerückt zu werden, als es in Bd. 1 geschah, verdient auch dieses Th 41) schon seiner eminenten Wichtigkeit halber, die z. B. auch in Bd. 3 deutlich zutage treten wird. Bildet dasselbe doch ein Gegenstück zu den fundamentalen Definitionen (3). Während nämlich letztere zeigen, wie eine Subsumtion, deren Prädikat ein Produkt, resp. deren Subjekt eine Summe ist, zerfällt werden kann in 26*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 403. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/47>, abgerufen am 14.08.2022.