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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

Glieder gelten, welche den nämlichen Konstituenten, also dasselbe Argument
zum Faktor haben.

Desgleichen: eine solche Funktion kann koeffizientenweise negirt werden.

In Zeichen: wenn
x y = x z = ... = y z = ... = 0
ist, hat man, -- wie ohnehin
(a x + b y + c z + ...) + (a x + b y + g z + ...) =
= (a + a) x + (b + b) y + (c + g) z + ...,
so auch analog
(a x + b y + c z + ...) (a x + b y + g z + ...) = a a x + b b y + c g z + ...,
und ferner
(a x + b y + c z + ...)1 = a1 x + b1 y + c1 z + ....

Der Beweis ist völlig analog dem der früheren Sätze.

Das heisst: Für den Produktensatz ist er zu leisten durch mentales
Ausmultipliziren nach dem Distributionsgesetze, resp. der Multiplikations-
regel für Polynome, unter Rücksichtnahme auf die Voraussetzungen und
das Tautologiegesetz 14x). Bezüglich des Satzes über Negation zeigt man,
dass der Negand mit dem angeblichen Negate die Summe 1 und das
Produkt 0 richtig liefert kraft der vorhergehenden beiden Sätze.

In Anbetracht dass auch die Boole'schen Konstituenten als unter
sich disjunkt nachgewiesen wurden, kann man die früheren Theoreme 45),
46) als besondre Fälle unter die eben aufgestellten Hülfssätze subsumiren,
welche letzteren aber den Vorzug grösserer Einfachheit besitzen.

Es lassen sich jedoch auch umgekehrt diese Hülfssätze als eine
partikulare Anwendung jener früheren Theoreme hinstellen.

Denn sollte eine Funktion f (x, y, z, ...) nach diesen ihren als disjunkt
vorausgesetzten Argumenten im Boole'schen Sinne entwickelt werden, so kann
die Entwickelung nur die bezüglich x, y, z, ... selbst lineare homogene
Form haben:
f (x, y, z, ...) = a x + b y + c z + ...,
sintemal durch Entwickelung von x selbst nach den sämtlichen Argumenten
leicht zu zeigen ist, dass wegen der Voraussetzungen sein muss:
x = x y1 z1 ..., y = x1 y z1 ..., usw.,
nämlich jeder Boole'sche Konstituent, in welchem mehr als ein Argument
unnegirt vorkäme, jenen zufolge verschwinden und aus der Entwickelung
herausfallen muss.

Desgleichen würde sich auch nach andern Schlussweisen die Prämisse
x y = 0 umschreiben lassen in x y1 oder x = x y1, ebenso die x z = 0 in
x = x z1, womit auch gefunden ist x = x y1 z1, und so weiter. --

Hiermit ist auch die Berechtigung erwiesen, den Namen "Konstituent"
vom Boole'schen x y1 z1 ... auf unser x selbst zu übertragen.

§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

Glieder gelten, welche den nämlichen Konstituenten, also dasselbe Argument
zum Faktor haben.

Desgleichen: eine solche Funktion kann koeffizientenweise negirt werden.

In Zeichen: wenn
x y = x z = … = y z = … = 0
ist, hat man, — wie ohnehin
(a x + b y + c z + …) + (α x + β y + γ z + …) =
= (a + α) x + (b + β) y + (c + γ) z + …,
so auch analog
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und ferner
(a x + b y + c z + …)1 = a1 x + b1 y + c1 z + ….

Der Beweis ist völlig analog dem der früheren Sätze.

Das heisst: Für den Produktensatz ist er zu leisten durch mentales
Ausmultipliziren nach dem Distributionsgesetze, resp. der Multiplikations-
regel für Polynome, unter Rücksichtnahme auf die Voraussetzungen und
das Tautologiegesetz 14×). Bezüglich des Satzes über Negation zeigt man,
dass der Negand mit dem angeblichen Negate die Summe 1 und das
Produkt 0 richtig liefert kraft der vorhergehenden beiden Sätze.

In Anbetracht dass auch die Boole’schen Konstituenten als unter
sich disjunkt nachgewiesen wurden, kann man die früheren Theoreme 45),
46) als besondre Fälle unter die eben aufgestellten Hülfssätze subsumiren,
welche letzteren aber den Vorzug grösserer Einfachheit besitzen.

Es lassen sich jedoch auch umgekehrt diese Hülfssätze als eine
partikulare Anwendung jener früheren Theoreme hinstellen.

Denn sollte eine Funktion f (x, y, z, …) nach diesen ihren als disjunkt
vorausgesetzten Argumenten im Boole’schen Sinne entwickelt werden, so kann
die Entwickelung nur die bezüglich x, y, z, … selbst lineare homogene
Form haben:
f (x, y, z, …) = a x + b y + c z + …,
sintemal durch Entwickelung von x selbst nach den sämtlichen Argumenten
leicht zu zeigen ist, dass wegen der Voraussetzungen sein muss:
x = x y1 z1 …, y = x1 y z1 …, usw.,
nämlich jeder Boole’sche Konstituent, in welchem mehr als ein Argument
unnegirt vorkäme, jenen zufolge verschwinden und aus der Entwickelung
herausfallen muss.

Hiermit ist auch die Berechtigung erwiesen, den Namen „Konstituent“
vom Boole’schen x y1 z1 … auf unser x selbst zu übertragen.

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[407/0051] § 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes. Glieder gelten, welche den nämlichen Konstituenten, also dasselbe Argument zum Faktor haben. Desgleichen: eine solche Funktion kann koeffizientenweise negirt werden. In Zeichen: wenn x y = x z = … = y z = … = 0 ist, hat man, — wie ohnehin (a x + b y + c z + …) + (α x + β y + γ z + …) = = (a + α) x + (b + β) y + (c + γ) z + …, so auch analog (a x + b y + c z + …) (α x + β y + γ z + …) = a α x + b β y + c γ z + …, und ferner (a x + b y + c z + …)1 = a1 x + b1 y + c1 z + …. Der Beweis ist völlig analog dem der früheren Sätze. Das heisst: Für den Produktensatz ist er zu leisten durch mentales Ausmultipliziren nach dem Distributionsgesetze, resp. der Multiplikations- regel für Polynome, unter Rücksichtnahme auf die Voraussetzungen und das Tautologiegesetz 14×). Bezüglich des Satzes über Negation zeigt man, dass der Negand mit dem angeblichen Negate die Summe 1 und das Produkt 0 richtig liefert kraft der vorhergehenden beiden Sätze. In Anbetracht dass auch die Boole’schen Konstituenten als unter sich disjunkt nachgewiesen wurden, kann man die früheren Theoreme 45), 46) als besondre Fälle unter die eben aufgestellten Hülfssätze subsumiren, welche letzteren aber den Vorzug grösserer Einfachheit besitzen. Es lassen sich jedoch auch umgekehrt diese Hülfssätze als eine partikulare Anwendung jener früheren Theoreme hinstellen. Denn sollte eine Funktion f (x, y, z, …) nach diesen ihren als disjunkt vorausgesetzten Argumenten im Boole’schen Sinne entwickelt werden, so kann die Entwickelung nur die bezüglich x, y, z, … selbst lineare homogene Form haben: f (x, y, z, …) = a x + b y + c z + …, sintemal durch Entwickelung von x selbst nach den sämtlichen Argumenten leicht zu zeigen ist, dass wegen der Voraussetzungen sein muss: x = x y1 z1 …, y = x1 y z1 …, usw., nämlich jeder Boole’sche Konstituent, in welchem mehr als ein Argument unnegirt vorkäme, jenen zufolge verschwinden und aus der Entwickelung herausfallen muss. Desgleichen würde sich auch nach andern Schlussweisen die Prämisse x y = 0 umschreiben lassen in x y1 oder x = x y1, ebenso die x z = 0 in x = x z1, womit auch gefunden ist x = x y1 z1, und so weiter. — Hiermit ist auch die Berechtigung erwiesen, den Namen „Konstituent“ vom Boole’schen x y1 z1 … auf unser x selbst zu übertragen.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 407. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/51>, abgerufen am 19.04.2024.

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