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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Vierte Vorlesung.
gespann von Formeln, Geltung beansprucht, so wird die Frage unab-
weislich, welche andern Formeln denn vor allem die fundamentalen
Festsetzungen des § 3 so noch nach sich ziehen? M. a. W. es drängt
sich der Gedanke auf, die Prinzipien des Dualismus und der Kon-
jugation (nachdem sie eben ihre volle Gebrauchsfähigkeit erlangten)
zunächst auf jene fundamentalen Formeln anzuwenden, und damit sozu-
sagen noch eine Fortsetzung, Ergänzung zum § 3 zu gewinnen.

Lassen wir zu dem Ende jene Festsetzungen Revue passiren, so
wird das Ergebniss sein: dass die Konjugation nichts Neues liefert, wohl
aber -- bei den Festsetzungen (5) bis (13) -- das Prinzip des Dualismus.

Wegen 0 = 0, 1 = 1 lässt die Konversion zugleich mit deren
Wahrheitswerte auch jede Aussage ungeändert.

Darnach kann der Abacus (2) bis (4) durch Konjugation nur in sich
selbst übergehen, desgleichen die (im Boole'schen Sinne) sekundären Aus-
sagenformeln (1) und (14). Die letzteren sind ausserdem zu sich selbst
("gebiets"-)dual und der Abacus trägt bereits den Dualismus in sich zur
Schau.

Es können daher nur mehr die Festsetzungen (5) bis (13) in Betracht
kommen, für welche (5) das Prototyp bildet.

Diese Formel (5) a = Si jai j(i : j) ginge nun durch beiderseitiges Kon-
vertiren über in: a = Si jai j(j : i), indem nach dem Gesagten das Konverse
von ai j nicht aj i sondern ai j selbst ist. Ersetzte man in dem Ergebnisse
dann a durch a, so entstünde a = Si jaj i(j : i) = Sj iaj i(j : i). D. h. man
erhält durch Konjugation die ursprüngliche Formel wieder, mit dem ein-
zigen Unterschiede, dass die beiden laufenden Zeiger blos ihre Namen aus-
getauscht haben.

[Streng genommen war hiezu eine Bemerkung vonnöten: Wir sind zwar
verbal schon in § 2 übereingekommen j : i das "zu i : j konverse" Elemente-
paar zu nennen; dass aber dieser Begriff aufgrund der später gegebnen
Definition der "Konversion" zusammenfällt mit deren Ergebnisse i : j musste
erst bewiesen werden. Der Beweis, durch den erst jene verbale Ausdrucks-
weise ihre Rechtfertigung nachträglich findet, ist äusserst leicht zu er-
bringen und sei -- da die ganze Betrachtung einen nebensächlichen Cha-
rakter hat -- hier dem Leser überlassen. Wir werden systematisch den-
selben erst in § 24 liefern.]

Konjugation also lieferte uns nichts Neues. Anders das Dualisiren.

Kontraposition, beiderseitiges Negiren der Formel
an = Si jani j(i : j)
gibt als das duale Gegenstück zu 5) die für jedes Relativ a gültige
Darstellung:
23) a = Pi j(ai j + i : j).

Um zunächst den Schluss ganz überzeugend zu finden, mag man be-
denken, dass in der vorhergehenden, der für an in Anspruch genommenen

Vierte Vorlesung.
gespann von Formeln, Geltung beansprucht, so wird die Frage unab-
weislich, welche andern Formeln denn vor allem die fundamentalen
Festsetzungen des § 3 so noch nach sich ziehen? M. a. W. es drängt
sich der Gedanke auf, die Prinzipien des Dualismus und der Kon-
jugation (nachdem sie eben ihre volle Gebrauchsfähigkeit erlangten)
zunächst auf jene fundamentalen Formeln anzuwenden, und damit sozu-
sagen noch eine Fortsetzung, Ergänzung zum § 3 zu gewinnen.

Lassen wir zu dem Ende jene Festsetzungen Revue passiren, so
wird das Ergebniss sein: dass die Konjugation nichts Neues liefert, wohl
aber — bei den Festsetzungen (5) bis (13) — das Prinzip des Dualismus.

Wegen 0̆ = 0, 1̆ = 1 lässt die Konversion zugleich mit deren
Wahrheitswerte auch jede Aussage ungeändert.

Darnach kann der Abacus (2) bis (4) durch Konjugation nur in sich
selbst übergehen, desgleichen die (im Boole’schen Sinne) sekundären Aus-
sagenformeln (1) und (14). Die letzteren sind ausserdem zu sich selbst
(„gebiets“-)dual und der Abacus trägt bereits den Dualismus in sich zur
Schau.

Es können daher nur mehr die Festsetzungen (5) bis (13) in Betracht
kommen, für welche (5) das Prototyp bildet.

Diese Formel (5) a = Σi jai j(i : j) ginge nun durch beiderseitiges Kon-
vertiren über in: ă = Σi jai j(j : i), indem nach dem Gesagten das Konverse
von ai j nicht aj i sondern ai j selbst ist. Ersetzte man in dem Ergebnisse
dann a durch ă, so entstünde a = Σi jaj i(j : i) = Σj iaj i(j : i). D. h. man
erhält durch Konjugation die ursprüngliche Formel wieder, mit dem ein-
zigen Unterschiede, dass die beiden laufenden Zeiger blos ihre Namen aus-
getauscht haben.

[Streng genommen war hiezu eine Bemerkung vonnöten: Wir sind zwar
verbal schon in § 2 übereingekommen j : i das „zu i : j konverse“ Elemente-
paar zu nennen; dass aber dieser Begriff aufgrund der später gegebnen
Definition der „Konversion“ zusammenfällt mit deren Ergebnisse i : j͝ musste
erst bewiesen werden. Der Beweis, durch den erst jene verbale Ausdrucks-
weise ihre Rechtfertigung nachträglich findet, ist äusserst leicht zu er-
bringen und sei — da die ganze Betrachtung einen nebensächlichen Cha-
rakter hat — hier dem Leser überlassen. Wir werden systematisch den-
selben erst in § 24 liefern.]

Konjugation also lieferte uns nichts Neues. Anders das Dualisiren.

Kontraposition, beiderseitiges Negiren der Formel
ā = Σi jāi j(i : j)
gibt als das duale Gegenstück zu 5) die für jedes Relativ a gültige
Darstellung:
23) a = Πi j(ai j + i : j͞).

Um zunächst den Schluss ganz überzeugend zu finden, mag man be-
denken, dass in der vorhergehenden, der für ā in Anspruch genommenen

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[128/0142] Vierte Vorlesung. gespann von Formeln, Geltung beansprucht, so wird die Frage unab- weislich, welche andern Formeln denn vor allem die fundamentalen Festsetzungen des § 3 so noch nach sich ziehen? M. a. W. es drängt sich der Gedanke auf, die Prinzipien des Dualismus und der Kon- jugation (nachdem sie eben ihre volle Gebrauchsfähigkeit erlangten) zunächst auf jene fundamentalen Formeln anzuwenden, und damit sozu- sagen noch eine Fortsetzung, Ergänzung zum § 3 zu gewinnen. Lassen wir zu dem Ende jene Festsetzungen Revue passiren, so wird das Ergebniss sein: dass die Konjugation nichts Neues liefert, wohl aber — bei den Festsetzungen (5) bis (13) — das Prinzip des Dualismus. Wegen 0̆ = 0, 1̆ = 1 lässt die Konversion zugleich mit deren Wahrheitswerte auch jede Aussage ungeändert. Darnach kann der Abacus (2) bis (4) durch Konjugation nur in sich selbst übergehen, desgleichen die (im Boole’schen Sinne) sekundären Aus- sagenformeln (1) und (14). Die letzteren sind ausserdem zu sich selbst („gebiets“-)dual und der Abacus trägt bereits den Dualismus in sich zur Schau. Es können daher nur mehr die Festsetzungen (5) bis (13) in Betracht kommen, für welche (5) das Prototyp bildet. Diese Formel (5) a = Σi jai j(i : j) ginge nun durch beiderseitiges Kon- vertiren über in: ă = Σi jai j(j : i), indem nach dem Gesagten das Konverse von ai j nicht aj i sondern ai j selbst ist. Ersetzte man in dem Ergebnisse dann a durch ă, so entstünde a = Σi jaj i(j : i) = Σj iaj i(j : i). D. h. man erhält durch Konjugation die ursprüngliche Formel wieder, mit dem ein- zigen Unterschiede, dass die beiden laufenden Zeiger blos ihre Namen aus- getauscht haben. [Streng genommen war hiezu eine Bemerkung vonnöten: Wir sind zwar verbal schon in § 2 übereingekommen j : i das „zu i : j konverse“ Elemente- paar zu nennen; dass aber dieser Begriff aufgrund der später gegebnen Definition der „Konversion“ zusammenfällt mit deren Ergebnisse i : j͝ musste erst bewiesen werden. Der Beweis, durch den erst jene verbale Ausdrucks- weise ihre Rechtfertigung nachträglich findet, ist äusserst leicht zu er- bringen und sei — da die ganze Betrachtung einen nebensächlichen Cha- rakter hat — hier dem Leser überlassen. Wir werden systematisch den- selben erst in § 24 liefern.] Konjugation also lieferte uns nichts Neues. Anders das Dualisiren. Kontraposition, beiderseitiges Negiren der Formel ā = Σi jāi j(i : j) gibt als das duale Gegenstück zu 5) die für jedes Relativ a gültige Darstellung: 23) a = Πi j(ai j + i : j͞). Um zunächst den Schluss ganz überzeugend zu finden, mag man be- denken, dass in der vorhergehenden, der für ā in Anspruch genommenen

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 128. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/142>, abgerufen am 19.04.2024.