Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 8. Produktdarstellung der Relative.

Formel (5) alle Koeffizienten ā_{i j} den Wahrheitswert 0 oder 1 haben. Wegen
völligen Zusammenfallens der Knüpfungsgesetze muss es aber erlaubt sein,
diese Wahrheitswerte 0 und 1 auch als Relative, nämlich als die absoluten
Moduln anzusehen. Bei dieser letztern Auffassung wird die Gleichung in
der That absolut das nämliche besagen und dieselbe Determination für ā
geben, wie bei der vorhergehenden Koeffizientendeutung. Dann aber haben
wir rechts eine Summe Σ_{i j} von identischen Produkten aus binären Rela-
tiven: ā_{i j} (= Modul 0 oder aber 1) das eine, und i : j das andre. Und
dieses Aggregat von Relativen kann nach den(selben) Regeln negirt werden,
welche für solche bereits gesichert sind — wodurch nun eben 23) entsteht.

Sehen wir uns jetzt die Darstellung näher an.

Sooft (d. h. für jedes ij wofür) a_{i j} = 1 ist, wird auch der zu-
gehörige Faktor des Π_{i j} gleich 1 mithin belanglos, unterdrückbar, un-
wirksam.

Sooft dagegen a_{i j} = 0 ist, erscheint (weiter nichts wie) i : j͞ selbst
als Faktor unsres Produktes angesetzt.

Gleichwie das binäre Relativ a die identische Summe ist der in
ihm enthaltenen, vorhandenen Elementepaare, so ist es also auch das
identische Produkt der Negate von sämtlichen Elementepaaren die in ihm
fehlen oder unvertreten sind!

Dergleichen Negate von individuellen (binären) Relativen nennt
Peirce (bekanntlich) „simples“.

Das Relativ ist die Summe seiner „Individuen (im Denkbereiche 1²)“
und das Produkt der Negate seiner „Nichtindividuen“ (seiner Simpla).

Jene, die Elementepaare, mit Peirce die „Aggreganten“ von a zu
nennen ist angängig, diese, die Simpla, dagegen als die „Komponenten“
von a zu bezeichnen schafft einen Doppelsinn im Hinblick auf die „Kompo-
sition“ als relative Multiplikation der Relative. Ich würde — wie dort
den Ausdruck „Konstituenten“ — so hier den „Produzenten“ (Poretzki’s)
vorziehn.

Dual ergänzt hätte also unsre Festsetzung (5) zu lauten:
24) Σ_{i j}a_{i j}(i : j) = a = Π_{i j}(a_{i j} + i : j͞),
indessen kann doch nur die eine Hälfte dieser Formel als „Festsetzung“
gelten; die andre ist dann eine Konsequenz — aus den wirklichen Fest-
setzungen.

Wegen des Korollars zu Festsetzung (14) ist die („additive“) Dar-
stellung eines binären Relativs als Summe von Elementepaaren nur auf
eine Weise möglich, und ebendies muss auch von seiner („multiplika-
tiven“) Darstellung als Produkt von Simplen gelten — die ja durch
Kontraposition aus jener folgte.

Wenn nun so der einen Darstellung der Relative, die wir als die

Schröder, Algebra der Relative. 9