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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 20. Vorübergehend Transoperationen genannte Knüpfungen.
bare, zu ihrer Darstellung aparte Knüpfungszeichen in der That nicht
erfordern. Vielmehr ist ad notam zu nehmen, dass:
3)
Phai hbh j = {(a j 0)(0 j b)}i jSh(ai h + bh j) = (a ; 1 + 1 ; b)i j.

Wir wollen gleichwol die obigen Knüpfungszeichen (dieselben nebenbei,
mit denen Peano die identischen Knüpfungen darstellt) noch eine kurze
Weile provisorisch beibehalten, weil sich mit ihnen gewisse Eigenschaften
unsrer Trans-Knüpfungen besonders übersichtlich ausdrücken lassen. Man
wolle übrigens absehen von der zufälligen Übereinstimmung oder Ähnlich-
keit des Transadditionszeichens mit dem als Hyphen (Bindestrich) über-
gesetzten Konversionszeichen: um diesen unbeabsichtigten Einklang zu ver-
meiden hätten wir statt der runden etwa spitze Zeichen , wählen können;
indessen sind die andern schön vorrätig gewesen.

Es gelten natürlich die Analoga zu De Morgan's Theoremen:

a b = an bna b = an bn
sodass sich mittelst der Negation die eine Transoperation auch auf
die andre zurückführen liesse.

Zudem sind die beiden Trans-Knüpfungen aber auch assoziativ.
Es ist

a (b c) = (a b) c = a b ca (b c) = (a b) c = a b c
indem die beiderseitigen Koeffizienten übereinstimmend hinauslaufen auf:
Ph kai hbh kck jSh k(ai h + bh k + ck j).
Dies gibt in unsre gewöhnliche Zeichensprache übertragen die be-
merkenswerten Formeln:
4) [Formel 1]
welche auch leicht mittelbar zu rechtfertigen -- z. B. rechts vom
Mittelstriche durch relatives Ausmultipliziren mit Rücksicht auf 1 ; 1 = 1.

Ähnlich haben wir als das Knüpfungsergebniss von vier in be-
stimmter Ordnung genommenen Relativen:
a b c d = (a j 0)(0 j b j 0)(0 j c j 0)(0 j d)|
|a b c d = a ; 1 + 1 ; b ; 1 + 1 ; c ; 1 + 1 ; d
woraus nun das allgemeine Bildungsgesetz auch für beliebig viele Terme
einleuchtet.

Bei mehrern Termen sind die Ergebnisse der Transoperationen
symmetrisch (oder "kommutativ") inbezug auf alle zwischenliegenden,
intermediären oder eingeschlossenen Terme und nur die beiden äussersten,
extremen oder Rand-Terme gehn auf eigne Weise in sie ein.

Im Gegensatz zu den identischen und den relativen haben die
beiden Transoperationen keine Moduln.


§ 20. Vorübergehend Transoperationen genannte Knüpfungen.
bare, zu ihrer Darstellung aparte Knüpfungszeichen in der That nicht
erfordern. Vielmehr ist ad notam zu nehmen, dass:
3)
Πhai hbh j = {(a ɟ 0)(0 ɟ b)}i jΣh(ai h + bh j) = (a ; 1 + 1 ; b)i j.

Wir wollen gleichwol die obigen Knüpfungszeichen (dieselben nebenbei,
mit denen Peano die identischen Knüpfungen darstellt) noch eine kurze
Weile provisorisch beibehalten, weil sich mit ihnen gewisse Eigenschaften
unsrer Trans-Knüpfungen besonders übersichtlich ausdrücken lassen. Man
wolle übrigens absehen von der zufälligen Übereinstimmung oder Ähnlich-
keit des Transadditionszeichens ⌣ mit dem als Hyphen (Bindestrich) über-
gesetzten Konversionszeichen: um diesen unbeabsichtigten Einklang zu ver-
meiden hätten wir statt der runden etwa spitze Zeichen ⋀, ⋁ wählen können;
indessen sind die andern schön vorrätig gewesen.

Es gelten natürlich die Analoga zu De Morgan’s Theoremen:

a ⌢ b͞ = ā ⌣ b̄a ⌣ b͞ = ā ⌢ b̄
sodass sich mittelst der Negation die eine Transoperation auch auf
die andre zurückführen liesse.

Zudem sind die beiden Trans-Knüpfungen aber auch assoziativ.
Es ist

a ⌢ (b ⌢ c) = (a ⌢ b) ⌢ c = a ⌢ b ⌢ ca ⌣ (b ⌣ c) = (a ⌣ b) ⌣ c = a ⌣ b ⌣ c
indem die beiderseitigen Koeffizienten übereinstimmend hinauslaufen auf:
Πh kai hbh kck jΣh k(ai h + bh k + ck j).
Dies gibt in unsre gewöhnliche Zeichensprache übertragen die be-
merkenswerten Formeln:
4) [Formel 1]
welche auch leicht mittelbar zu rechtfertigen — z. B. rechts vom
Mittelstriche durch relatives Ausmultipliziren mit Rücksicht auf 1 ; 1 = 1.

Ähnlich haben wir als das Knüpfungsergebniss von vier in be-
stimmter Ordnung genommenen Relativen:
a ⌢ b ⌢ c ⌢ d = (a ɟ 0)(0 ɟ b ɟ 0)(0 ɟ c ɟ 0)(0 ɟ d)|
|a ⌣ b ⌣ c ⌣ d = a ; 1 + 1 ; b ; 1 + 1 ; c ; 1 + 1 ; d
woraus nun das allgemeine Bildungsgesetz auch für beliebig viele Terme
einleuchtet.

Bei mehrern Termen sind die Ergebnisse der Transoperationen
symmetrisch (oder „kommutativ“) inbezug auf alle zwischenliegenden,
intermediären oder eingeschlossenen Terme und nur die beiden äussersten,
extremen oder Rand-Terme gehn auf eigne Weise in sie ein.

Im Gegensatz zu den identischen und den relativen haben die
beiden Transoperationen keine Moduln.


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[279/0293] § 20. Vorübergehend Transoperationen genannte Knüpfungen. bare, zu ihrer Darstellung aparte Knüpfungszeichen in der That nicht erfordern. Vielmehr ist ad notam zu nehmen, dass: 3) Πhai hbh j = {(a ɟ 0)(0 ɟ b)}i j Σh(ai h + bh j) = (a ; 1 + 1 ; b)i j. Wir wollen gleichwol die obigen Knüpfungszeichen (dieselben nebenbei, mit denen Peano die identischen Knüpfungen darstellt) noch eine kurze Weile provisorisch beibehalten, weil sich mit ihnen gewisse Eigenschaften unsrer Trans-Knüpfungen besonders übersichtlich ausdrücken lassen. Man wolle übrigens absehen von der zufälligen Übereinstimmung oder Ähnlich- keit des Transadditionszeichens ⌣ mit dem als Hyphen (Bindestrich) über- gesetzten Konversionszeichen: um diesen unbeabsichtigten Einklang zu ver- meiden hätten wir statt der runden etwa spitze Zeichen ⋀, ⋁ wählen können; indessen sind die andern schön vorrätig gewesen. Es gelten natürlich die Analoga zu De Morgan’s Theoremen: a ⌢ b͞ = ā ⌣ b̄ a ⌣ b͞ = ā ⌢ b̄ sodass sich mittelst der Negation die eine Transoperation auch auf die andre zurückführen liesse. Zudem sind die beiden Trans-Knüpfungen aber auch assoziativ. Es ist a ⌢ (b ⌢ c) = (a ⌢ b) ⌢ c = a ⌢ b ⌢ c a ⌣ (b ⌣ c) = (a ⌣ b) ⌣ c = a ⌣ b ⌣ c indem die beiderseitigen Koeffizienten übereinstimmend hinauslaufen auf: Πh kai hbh kck j Σh k(ai h + bh k + ck j). Dies gibt in unsre gewöhnliche Zeichensprache übertragen die be- merkenswerten Formeln: 4) [FORMEL] welche auch leicht mittelbar zu rechtfertigen — z. B. rechts vom Mittelstriche durch relatives Ausmultipliziren mit Rücksicht auf 1 ; 1 = 1. Ähnlich haben wir als das Knüpfungsergebniss von vier in be- stimmter Ordnung genommenen Relativen: a ⌢ b ⌢ c ⌢ d = (a ɟ 0)(0 ɟ b ɟ 0)(0 ɟ c ɟ 0)(0 ɟ d)| |a ⌣ b ⌣ c ⌣ d = a ; 1 + 1 ; b ; 1 + 1 ; c ; 1 + 1 ; d woraus nun das allgemeine Bildungsgesetz auch für beliebig viele Terme einleuchtet. Bei mehrern Termen sind die Ergebnisse der Transoperationen symmetrisch (oder „kommutativ“) inbezug auf alle zwischenliegenden, intermediären oder eingeschlossenen Terme und nur die beiden äussersten, extremen oder Rand-Terme gehn auf eigne Weise in sie ein. Im Gegensatz zu den identischen und den relativen haben die beiden Transoperationen keine Moduln.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 279. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/293>, abgerufen am 24.04.2024.