Bedingung des Verschwindens für das a-Bild eines Elementes i ist: a) (a ; i = 0), = (ain), denn wir haben (a ; i 0) = (a 0 j in = in). Dafür also ist notwendig und hinreichend, dass das Abbildungsprinzip a (als binäres Relativ) die Kolonne i zur Leerkolonne habe.
Damit a ; i nicht 0 sei, muss a in dieser Kolonne i mindestens ein Auge haben.
Zerlegt man a = ui + vin, so kommt: a ; i = ui ; i + vin ; i = u ; ii + v ; ini = u ; i + v ; 0 = u ; i d. h. der in den Raum in hineinfallende Teil (der Matrix) von a ist ohne Einfluss auf den Wert des a ; i. Es gilt m. a. W. (etwa u = v = a ge- nommen) der Satz: b) a ; i = ai ; i.
Jedem Auge hi des Relativs ai (das mithin a innerhalb der Kolonne i aufweisen mag) entspricht als zu a ; i gehörig, d. i. als Bestandteil dieses Systems, ein apartes Element h, indem: hi ; i = h ; i = h ; 1 ; i = h ; 1 · 1 ; i = h · 1 = h. D. h. es gilt der Satz: g) h ; i = hi ; i = h. Also, populär gesprochen: soviel Augen das Relativ ai besitzt, soviel Elemente (oder "a-Bilder von i") wird "das a-Bild von i", a ; i, unter sich begreifen.
In der Folge werden wir ausserordentlich viel zu thun haben mit Subsumtionen von einer der beiden Formen: ia ; j und a ; ji. Darum sei auch folgendes noch aus § 25 in Erinnerung gebracht, resp. neu konstatirt oder besonders hervorgehoben -- und zwar weniger zugunsten des gegenwärtigen als vielmehr des nächsten Paragraphen. Bis auf eine Be- merkung unter v) wird der Studirende von den ferneren Betrachtungen dieses Kontextes erst bei den Verweisungen im § 31 Kenntniss zu nehmen haben und kann sie vorläufig überschlagen.
Die (für die Subsumtionen unsrer ersten Form) fundamentale Äquivalenz: d) (ia ; j) = (ja ; i) liess sich aufgrund der Sätze 22) S. 418: a j in = a ; i, (in j a = i ; a), die als Gleichungen Geltung haben -- durch deren Anwendung abwechselnd mit dem ersten Inversionstheorem und dem Kontrapositionsverfahren -- ja auch leicht beweisen mittelst der äquivalenten Umformungen: (ia ; j) = (ia j jn) = (an ; ijn) = (ja j in) = (j = a ; i).
Zwölfte Vorlesung.
Bedingung des Verschwindens für das a-Bild eines Elementes i ist: α) (a ; i = 0), = (a ⋹ ī̆), denn wir haben (a ; i ⋹ 0) = (a ⋹ 0 ɟ ī̆ = ī̆). Dafür also ist notwendig und hinreichend, dass das Abbildungsprinzip a (als binäres Relativ) die Kolonne ĭ zur Leerkolonne habe.
Damit a ; i nicht 0 sei, muss a in dieser Kolonne ĭ mindestens ein Auge haben.
Zerlegt man a = uĭ + vī̆, so kommt: a ; i = uĭ ; i + vī̆ ; i = u ; ii + v ; īi = u ; i + v ; 0 = u ; i d. h. der in den Raum ī̆ hineinfallende Teil (der Matrix) von a ist ohne Einfluss auf den Wert des a ; i. Es gilt m. a. W. (etwa u = v = a ge- nommen) der Satz: β) a ; i = aĭ ; i.
Jedem Auge hi des Relativs aĭ (das mithin a innerhalb der Kolonne ĭ aufweisen mag) entspricht als zu a ; i gehörig, d. i. als Bestandteil dieses Systems, ein apartes Element h, indem: hĭ ; i = h ; i = h ; 1 ; i = h ; 1 · 1 ; i = h · 1 = h. D. h. es gilt der Satz: γ) h ; i = hĭ ; i = h. Also, populär gesprochen: soviel Augen das Relativ aĭ besitzt, soviel Elemente (oder „a-Bilder von i“) wird „das a-Bild von i“, a ; i, unter sich begreifen.
In der Folge werden wir ausserordentlich viel zu thun haben mit Subsumtionen von einer der beiden Formen: i⋹a ; j und a ; j ⋹ i. Darum sei auch folgendes noch aus § 25 in Erinnerung gebracht, resp. neu konstatirt oder besonders hervorgehoben — und zwar weniger zugunsten des gegenwärtigen als vielmehr des nächsten Paragraphen. Bis auf eine Be- merkung unter v) wird der Studirende von den ferneren Betrachtungen dieses Kontextes erst bei den Verweisungen im § 31 Kenntniss zu nehmen haben und kann sie vorläufig überschlagen.
Die (für die Subsumtionen unsrer ersten Form) fundamentale Äquivalenz: δ) (i ⋹ a ; j) = (j ⋹ ă ; i) liess sich aufgrund der Sätze 22) S. 418: a ɟ ī = a ; i, (ī̆ ɟ a = ĭ ; a), die als Gleichungen Geltung haben — durch deren Anwendung abwechselnd mit dem ersten Inversionstheorem und dem Kontrapositionsverfahren — ja auch leicht beweisen mittelst der äquivalenten Umformungen: (i ⋹ a ; j) = (i ⋹ a ɟ j̄) = (ā̆ ; i ⋹ j̄) = (j ⋹ ă ɟ ī) = (j = ă ; i).
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Zwölfte Vorlesung.
Bedingung des Verschwindens für das a-Bild eines Elementes i ist:
α) (a ; i = 0), = (a ⋹ ī̆),
denn wir haben (a ; i ⋹ 0) = (a ⋹ 0 ɟ ī̆ = ī̆). Dafür also ist notwendig
und hinreichend, dass das Abbildungsprinzip a (als binäres Relativ) die
Kolonne ĭ zur Leerkolonne habe.
Damit a ; i nicht 0 sei, muss a in dieser Kolonne ĭ mindestens ein
Auge haben.
Zerlegt man a = uĭ + vī̆, so kommt:
a ; i = uĭ ; i + vī̆ ; i = u ; ii + v ; īi = u ; i + v ; 0 = u ; i
d. h. der in den Raum ī̆ hineinfallende Teil (der Matrix) von a ist ohne
Einfluss auf den Wert des a ; i. Es gilt m. a. W. (etwa u = v = a ge-
nommen) der Satz:
β) a ; i = aĭ ; i.
Jedem Auge hi des Relativs aĭ (das mithin a innerhalb der Kolonne ĭ
aufweisen mag) entspricht als zu a ; i gehörig, d. i. als Bestandteil dieses
Systems, ein apartes Element h, indem: hĭ ; i = h ; i = h ; 1 ; i = h ; 1 · 1 ; i = h · 1 = h.
D. h. es gilt der Satz:
γ) h ; i = hĭ ; i = h.
Also, populär gesprochen: soviel Augen das Relativ aĭ besitzt, soviel Elemente
(oder „a-Bilder von i“) wird „das a-Bild von i“, a ; i, unter sich begreifen.
In der Folge werden wir ausserordentlich viel zu thun haben mit
Subsumtionen von einer der beiden Formen:
i⋹a ; j und a ; j ⋹ i.
Darum sei auch folgendes noch aus § 25 in Erinnerung gebracht, resp. neu
konstatirt oder besonders hervorgehoben — und zwar weniger zugunsten des
gegenwärtigen als vielmehr des nächsten Paragraphen. Bis auf eine Be-
merkung unter v) wird der Studirende von den ferneren Betrachtungen
dieses Kontextes erst bei den Verweisungen im § 31 Kenntniss zu nehmen
haben und kann sie vorläufig überschlagen.
Die (für die Subsumtionen unsrer ersten Form) fundamentale Äquivalenz:
δ) (i ⋹ a ; j) = (j ⋹ ă ; i)
liess sich aufgrund der Sätze 22) S. 418: a ɟ ī = a ; i, (ī̆ ɟ a = ĭ ; a), die
als Gleichungen Geltung haben — durch deren Anwendung abwechselnd mit
dem ersten Inversionstheorem und dem Kontrapositionsverfahren — ja auch
leicht beweisen mittelst der äquivalenten Umformungen:
(i ⋹ a ; j) = (i ⋹ a ɟ j̄) = (ā̆ ; i ⋹ j̄) = (j ⋹ ă ɟ ī) = (j = ă ; i).
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 554. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/568>, abgerufen am 20.04.2024.
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