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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Erstes Buch
daß die Zahlen also stehen/ 1/ 5/ 25) wie kan die Verhältnis 1 gegen 25 zweymal so groß
seyn als die Verhältnis 1 gegen 5/ sintemal aus dem 8ten des V. Buchs erhellet/ daß vielmehr
umbgekehret 1 gegen 5 eine grössere Verhältnis habe/ als gegen 25? Und dannoch wird
die Verhältnis 1 gegen 25 gedoppelt oder zweyfach genennet in Ansehung der Verhältnis 1
gegen 5; nehmlich keines weges der Meinung/ als ob jene zweymal so groß wäre als diese/ son-
dern weil diese zweymal innerhalb dieser begriffen ist/ wie oben erkläret worden: Also/ daß obi-
ges aus diesem Grund nicht so leichtlich erhellet/ wie es anfänglich scheinet/ sondern (damit
nichts zweifelhaftiges zu rukk bleibe) beweisens wol bedürftig ist.

[Abbildung]

David Rivalt de Flurance beweiset es gar leicht
mit Beyhülf beygesetzter/ von uns etwas weniges ge-
änderter/ und näher auf unser Fürhaben gezogener/
Figur: Es seyen C und D die zwey ungleiche Lineen/
und G die mittlere gleichverhaltende darzwischen/ al-
so daß/ wie C gegen G, also G gegen D sich verhalte/
aus dem 13den des VI. B. Soll nun bewiesen wer-
den/ daß die einfache Verhältnis des C gegen G klei-
ner sey als die gedoppelte eben desselben C gegen D.
Solches geschihet also: Weil C grösser ist als D, vermög obiger Auflösung/ so kan der
Punct/ in welchem die drey Lineen zusamm kommen/ nicht der Mittelpunct seyn/ sondern die-
ser muß weiter hinein auf die Lini C fallen; und deswegen ist C die grösseste Lini/ D die kleineste/
G aber also grösser als D, nach der 7den des III. Buchs. Derowegen muß nohtwendig C
gegen der grössern G eine kleinere Verhältnis haben/ als gegen D der kleinern/ vermög des
8ten im V. Buch. Welches zu beweisen war.

Ob nun schon dieser Beweiß zu gegenwärtigem Fürhaben/ allwo eben von Lineen allein
geredet wird/ ganz genugsam ist/ so wollen wir dannoch Lusts und Ubung halben (weil nicht
allein dieser/ sondern auch alle andere Lehrsätze von denen gleichverhaltenden Dingen [de pro-
portionalibus] es seyen hernach gleich Lineen/ oder Zahlen/ oder Zeiten/ oder Gewichte/ etc.
allgemein sind/ und deßwegen auch einen allgemeinen Beweiß erfordern) denselben allgemein
machen/ und von Lineen/ Zahlen/ Gewichten/ und was sonsten Messens fähig ist/ auf einmal
beweisen/ daß/ wann drey gleichverhaltende Dinge/ C, G, D, sind/ und das erste grösser ist als
das lezt/ allezeit das erste C gegen dem mittlern gleichverhaltenden G eine kleinere Verhältnis
habe/ als gegen dem lezten D. Der ganze Schluß ruhet/ wie oben gesehen/ darauf/ daß in
solchem Fall G allezeit grösser sey als D, welches also bewiesen wird: Wann G nicht grösser ist
als D, so muß es entweder demselben gleich oder kleiner seyn. Jst es ihm gleich/ und G ver-
hält sich gegen D, wie C gegen G, nach obigem Satz/ so müssen C und G, und folgends C
und D (als die beyde dem dritten/ D, gleich sind) auch einander gleich seyn/ welches die Ver-
nunft lehret/ aber zugleich wider den ersten Satz (hypothesin) ist. Jst dann G kleiner als D,
so muß auch nohtwendig (weil C gegen G sich eben so verhält/ wie G gegen D) auch C kleiner
seyn als G, und umb so viel mehr auch kleiner als D; welches abermals wider den ersten Satz lauf-
fet und ungereimt ist. Folget derowegen/ daß G grösser sey als D, und also C gegen G eine klei-
nere Verhältnis habe/ als gegen D.

2. Ferner ist in obigem Beweiß als gewiß gesetzet worden/ daß/ wann eine einfache Ver-
hältnis kleiner ist als eine andere einfache/ auch jener gedoppelte kleiner sey/ als diese gedoppelte.
Zum Exempel/ 1/ 5/ 25/ sind gleichverhaltende Zahlen/ wie nicht weniger diese/ 1/ 2/ 4; Wie
nun dorten die Verhältnis 1 gegen 25 gedoppelt genennet wird in Ansehung der Verhältnis 1
gegen 5; also wird auch hier die Verhältnis 1 gegen 4 gedoppelt genennet in Ansehung der ein-
fachen Verhältnis 1 gegen 2. Nun wird als gewiß gesetzet/ daß/ wann die einfache Verhältnis
1 gegen 5 kleiner ist als die andere einfache 1 gegen 2/ alsdann auch die gedoppelte/ 1 gegen 25
kleiner sey als die andere gedoppelte/ 1 gegen 4. Nun ist zwar in diesen Zahlen die Sach offenbar
und für Augen. Damit aber klar werde/ daß es allezeit und in allen messens-fähigen Dingen
angehe/ muß ein allgemeiner Beweiß gegeben werden.

Obangezogener David Rivalt de Flurance beruffet sich in diesem Fall mit zwey Worten
auf den 15 den Lehrsatz des V. Buchs Euclidis; aus welchem aber dieses keines weges folget/ es
sey dann/ daß er/ nicht ohne sonderbaren Jrrthumb/ durch die gedoppelte Verhältnis (duplica-
tam) eben eine zweymal - so grosse (duplam) verstehe/ wie er dann ohne Zweiffel verstehet/ weil

er aus-

Archimedis Erſtes Buch
daß die Zahlen alſo ſtehen/ 1/ 5/ 25) wie kan die Verhaͤltnis 1 gegen 25 zweymal ſo groß
ſeyn als die Verhaͤltnis 1 gegen 5/ ſintemal aus dem 8ten des V. Buchs erhellet/ daß vielmehr
umbgekehret 1 gegen 5 eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als gegen 25? Und dannoch wird
die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt oder zweyfach genennet in Anſehung der Verhaͤltnis 1
gegen 5; nehmlich keines weges der Meinung/ als ob jene zweymal ſo groß waͤre als dieſe/ ſon-
dern weil dieſe zweymal innerhalb dieſer begriffen iſt/ wie oben erklaͤret worden: Alſo/ daß obi-
ges aus dieſem Grund nicht ſo leichtlich erhellet/ wie es anfaͤnglich ſcheinet/ ſondern (damit
nichts zweifelhaftiges zu rukk bleibe) beweiſens wol beduͤrftig iſt.

[Abbildung]

David Rivalt de Flurance beweiſet es gar leicht
mit Beyhuͤlf beygeſetzter/ von uns etwas weniges ge-
aͤnderter/ und naͤher auf unſer Fuͤrhaben gezogener/
Figur: Es ſeyen C und D die zwey ungleiche Lineen/
und G die mittlere gleichverhaltende darzwiſchen/ al-
ſo daß/ wie C gegen G, alſo G gegen D ſich verhalte/
aus dem 13den des VI. B. Soll nun bewieſen wer-
den/ daß die einfache Verhaͤltnis des C gegen G klei-
ner ſey als die gedoppelte eben deſſelben C gegen D.
Solches geſchihet alſo: Weil C groͤſſer iſt als D, vermoͤg obiger Aufloͤſung/ ſo kan der
Punct/ in welchem die drey Lineen zuſamm kommen/ nicht der Mittelpunct ſeyn/ ſondern die-
ſer muß weiter hinein auf die Lini C fallen; und deswegen iſt C die groͤſſeſte Lini/ D die kleineſte/
G aber alſo groͤſſer als D, nach der 7den des III. Buchs. Derowegen muß nohtwendig C
gegen der groͤſſern G eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als gegen D der kleinern/ vermoͤg des
8ten im V. Buch. Welches zu beweiſen war.

Ob nun ſchon dieſer Beweiß zu gegenwaͤrtigem Fuͤrhaben/ allwo eben von Lineen allein
geredet wird/ ganz genugſam iſt/ ſo wollen wir dannoch Luſts und Ubung halben (weil nicht
allein dieſer/ ſondern auch alle andere Lehrſaͤtze von denen gleichverhaltenden Dingen [de pro-
portionalibus] es ſeyen hernach gleich Lineen/ oder Zahlen/ oder Zeiten/ oder Gewichte/ ꝛc.
allgemein ſind/ und deßwegen auch einen allgemeinen Beweiß erfordern) denſelben allgemein
machen/ und von Lineen/ Zahlen/ Gewichten/ und was ſonſten Meſſens faͤhig iſt/ auf einmal
beweiſen/ daß/ wann drey gleichverhaltende Dinge/ C, G, D, ſind/ und das erſte groͤſſer iſt als
das lezt/ allezeit das erſte C gegen dem mittlern gleichverhaltenden G eine kleinere Verhaͤltnis
habe/ als gegen dem lezten D. Der ganze Schluß ruhet/ wie oben geſehen/ darauf/ daß in
ſolchem Fall G allezeit groͤſſer ſey als D, welches alſo bewieſen wird: Wann G nicht groͤſſer iſt
als D, ſo muß es entweder demſelben gleich oder kleiner ſeyn. Jſt es ihm gleich/ und G ver-
haͤlt ſich gegen D, wie C gegen G, nach obigem Satz/ ſo muͤſſen C und G, und folgends C
und D (als die beyde dem dritten/ D, gleich ſind) auch einander gleich ſeyn/ welches die Ver-
nunft lehret/ aber zugleich wider den erſten Satz (hypotheſin) iſt. Jſt dann G kleiner als D,
ſo muß auch nohtwendig (weil C gegen G ſich eben ſo verhaͤlt/ wie G gegen D) auch C kleiner
ſeyn als G, und umb ſo viel mehr auch kleiner als D; welches abermals wider den erſten Satz lauf-
fet und ungereimt iſt. Folget derowegen/ daß G groͤſſer ſey als D, und alſo C gegen G eine klei-
nere Verhaͤltnis habe/ als gegen D.

2. Ferner iſt in obigem Beweiß als gewiß geſetzet worden/ daß/ wann eine einfache Ver-
haͤltnis kleiner iſt als eine andere einfache/ auch jener gedoppelte kleiner ſey/ als dieſe gedoppelte.
Zum Exempel/ 1/ 5/ 25/ ſind gleichverhaltende Zahlen/ wie nicht weniger dieſe/ 1/ 2/ 4; Wie
nun dorten die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt genennet wird in Anſehung der Verhaͤltnis 1
gegen 5; alſo wird auch hier die Verhaͤltnis 1 gegen 4 gedoppelt genennet in Anſehung der ein-
fachen Verhaͤltnis 1 gegen 2. Nun wird als gewiß geſetzet/ daß/ wann die einfache Verhaͤltnis
1 gegen 5 kleiner iſt als die andere einfache 1 gegen 2/ alsdann auch die gedoppelte/ 1 gegen 25
kleiner ſey als die andere gedoppelte/ 1 gegen 4. Nun iſt zwar in dieſen Zahlen die Sach offenbar
und fuͤr Augen. Damit aber klar werde/ daß es allezeit und in allen meſſens-faͤhigen Dingen
angehe/ muß ein allgemeiner Beweiß gegeben werden.

Obangezogener David Rivalt de Flurance beruffet ſich in dieſem Fall mit zwey Worten
auf den 15 den Lehrſatz des V. Buchs Euclidis; aus welchem aber dieſes keines weges folget/ es
ſey dann/ daß er/ nicht ohne ſonderbaren Jrꝛthumb/ durch die gedoppelte Verhaͤltnis (duplica-
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[18/0046] Archimedis Erſtes Buch daß die Zahlen alſo ſtehen/ 1/ 5/ 25) wie kan die Verhaͤltnis 1 gegen 25 zweymal ſo groß ſeyn als die Verhaͤltnis 1 gegen 5/ ſintemal aus dem 8ten des V. Buchs erhellet/ daß vielmehr umbgekehret 1 gegen 5 eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als gegen 25? Und dannoch wird die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt oder zweyfach genennet in Anſehung der Verhaͤltnis 1 gegen 5; nehmlich keines weges der Meinung/ als ob jene zweymal ſo groß waͤre als dieſe/ ſon- dern weil dieſe zweymal innerhalb dieſer begriffen iſt/ wie oben erklaͤret worden: Alſo/ daß obi- ges aus dieſem Grund nicht ſo leichtlich erhellet/ wie es anfaͤnglich ſcheinet/ ſondern (damit nichts zweifelhaftiges zu rukk bleibe) beweiſens wol beduͤrftig iſt. [Abbildung] David Rivalt de Flurance beweiſet es gar leicht mit Beyhuͤlf beygeſetzter/ von uns etwas weniges ge- aͤnderter/ und naͤher auf unſer Fuͤrhaben gezogener/ Figur: Es ſeyen C und D die zwey ungleiche Lineen/ und G die mittlere gleichverhaltende darzwiſchen/ al- ſo daß/ wie C gegen G, alſo G gegen D ſich verhalte/ aus dem 13den des VI. B. Soll nun bewieſen wer- den/ daß die einfache Verhaͤltnis des C gegen G klei- ner ſey als die gedoppelte eben deſſelben C gegen D. Solches geſchihet alſo: Weil C groͤſſer iſt als D, vermoͤg obiger Aufloͤſung/ ſo kan der Punct/ in welchem die drey Lineen zuſamm kommen/ nicht der Mittelpunct ſeyn/ ſondern die- ſer muß weiter hinein auf die Lini C fallen; und deswegen iſt C die groͤſſeſte Lini/ D die kleineſte/ G aber alſo groͤſſer als D, nach der 7den des III. Buchs. Derowegen muß nohtwendig C gegen der groͤſſern G eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als gegen D der kleinern/ vermoͤg des 8ten im V. Buch. Welches zu beweiſen war. Ob nun ſchon dieſer Beweiß zu gegenwaͤrtigem Fuͤrhaben/ allwo eben von Lineen allein geredet wird/ ganz genugſam iſt/ ſo wollen wir dannoch Luſts und Ubung halben (weil nicht allein dieſer/ ſondern auch alle andere Lehrſaͤtze von denen gleichverhaltenden Dingen [de pro- portionalibus] es ſeyen hernach gleich Lineen/ oder Zahlen/ oder Zeiten/ oder Gewichte/ ꝛc. allgemein ſind/ und deßwegen auch einen allgemeinen Beweiß erfordern) denſelben allgemein machen/ und von Lineen/ Zahlen/ Gewichten/ und was ſonſten Meſſens faͤhig iſt/ auf einmal beweiſen/ daß/ wann drey gleichverhaltende Dinge/ C, G, D, ſind/ und das erſte groͤſſer iſt als das lezt/ allezeit das erſte C gegen dem mittlern gleichverhaltenden G eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als gegen dem lezten D. Der ganze Schluß ruhet/ wie oben geſehen/ darauf/ daß in ſolchem Fall G allezeit groͤſſer ſey als D, welches alſo bewieſen wird: Wann G nicht groͤſſer iſt als D, ſo muß es entweder demſelben gleich oder kleiner ſeyn. Jſt es ihm gleich/ und G ver- haͤlt ſich gegen D, wie C gegen G, nach obigem Satz/ ſo muͤſſen C und G, und folgends C und D (als die beyde dem dritten/ D, gleich ſind) auch einander gleich ſeyn/ welches die Ver- nunft lehret/ aber zugleich wider den erſten Satz (hypotheſin) iſt. Jſt dann G kleiner als D, ſo muß auch nohtwendig (weil C gegen G ſich eben ſo verhaͤlt/ wie G gegen D) auch C kleiner ſeyn als G, und umb ſo viel mehr auch kleiner als D; welches abermals wider den erſten Satz lauf- fet und ungereimt iſt. Folget derowegen/ daß G groͤſſer ſey als D, und alſo C gegen G eine klei- nere Verhaͤltnis habe/ als gegen D. 2. Ferner iſt in obigem Beweiß als gewiß geſetzet worden/ daß/ wann eine einfache Ver- haͤltnis kleiner iſt als eine andere einfache/ auch jener gedoppelte kleiner ſey/ als dieſe gedoppelte. Zum Exempel/ 1/ 5/ 25/ ſind gleichverhaltende Zahlen/ wie nicht weniger dieſe/ 1/ 2/ 4; Wie nun dorten die Verhaͤltnis 1 gegen 25 gedoppelt genennet wird in Anſehung der Verhaͤltnis 1 gegen 5; alſo wird auch hier die Verhaͤltnis 1 gegen 4 gedoppelt genennet in Anſehung der ein- fachen Verhaͤltnis 1 gegen 2. Nun wird als gewiß geſetzet/ daß/ wann die einfache Verhaͤltnis 1 gegen 5 kleiner iſt als die andere einfache 1 gegen 2/ alsdann auch die gedoppelte/ 1 gegen 25 kleiner ſey als die andere gedoppelte/ 1 gegen 4. Nun iſt zwar in dieſen Zahlen die Sach offenbar und fuͤr Augen. Damit aber klar werde/ daß es allezeit und in allen meſſens-faͤhigen Dingen angehe/ muß ein allgemeiner Beweiß gegeben werden. Obangezogener David Rivalt de Flurance beruffet ſich in dieſem Fall mit zwey Worten auf den 15 den Lehrſatz des V. Buchs Euclidis; aus welchem aber dieſes keines weges folget/ es ſey dann/ daß er/ nicht ohne ſonderbaren Jrꝛthumb/ durch die gedoppelte Verhaͤltnis (duplica- tam) eben eine zweymal - ſo groſſe (duplam) verſtehe/ wie er dann ohne Zweiffel verſtehet/ weil er aus-

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Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 18. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/46>, abgerufen am 19.04.2024.