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Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

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6. [Formel 1] , oder
7. [Formel 2]

Nimmt man endlich a = a2 b -- 1, b = a2 a, c = a2c, d = a2 c + 1, und es ist ent-
weder c > b oder c < b -- 1, so giebt die Gleichung (3) des §. 1
8. [Formel 3]
Setzt man in dieser Gleichung m für c und summirt von m = c bis m = n, so erhält
man, wenn c von b verschieden ist,
9. [Formel 4]
Denn wenn b > a ist, so ist jedes Glied, das bei der Summation in Betracht kommt,
nach (9) = 0; wenn aber b < a ist, so sind nur diejenigen Glieder nicht = 0, welche
man für m = b -- 1 und m = b erhält; deren Summe aber ist in Folge der Gleichun-
gen (5, 6, 7) ebenfalls = 0.

Setzt man in der Gleichung (9) c = b + 1 und addirt alsdann zu ihr die Gleichung
(5), und bemerkt, dass [Formel 5] ist, so
erhält man
10. [Formel 6]

§. 5.

Die Gleichungen (2, 4, 9, 10) des vorhergehenden §., welche hier noch einmal
zusammengestellt werden mögen:
1. [Formel 7] ,
2. [Formel 8] ,
3. [Formel 9] ,
4. [Formel 10] ,
enthalten eine Reihe von (2n2 -- n) Relationen unter den 4n2 Grössen Ka, b, Ja, b,
K'a, b, J'a, b . Die erste Gleichung nämlich, deren linke Seite identisch = 0 wird,
wenn man c = b nimmt, und nur ihr Zeichen wechselt, wenn diese beiden Indices
unter einander vertauscht werden, giebt [Formel 11] Relationen; eben so viele die
zweite; die dritte aber giebt deren n (n -- 1), und die vierte n, alle zusammen also
enthalten [Formel 12] Relationen.

4

6. [Formel 1] , oder
7. [Formel 2]

Nimmt man endlich a = a2 b — 1, b = a2 a, c = a2c, d = a2 c + 1, und es ist ent-
weder c > b oder c < b — 1, so giebt die Gleichung (3) des §. 1
8. [Formel 3]
Setzt man in dieser Gleichung m für c und summirt von m = c bis m = n, so erhält
man, wenn c von b verschieden ist,
9. [Formel 4]
Denn wenn b > a ist, so ist jedes Glied, das bei der Summation in Betracht kommt,
nach (9) = 0; wenn aber b < a ist, so sind nur diejenigen Glieder nicht = 0, welche
man für m = b — 1 und m = b erhält; deren Summe aber ist in Folge der Gleichun-
gen (5, 6, 7) ebenfalls = 0.

Setzt man in der Gleichung (9) c = b + 1 und addirt alsdann zu ihr die Gleichung
(5), und bemerkt, dass [Formel 5] ist, so
erhält man
10. [Formel 6]

§. 5.

Die Gleichungen (2, 4, 9, 10) des vorhergehenden §., welche hier noch einmal
zusammengestellt werden mögen:
1. [Formel 7] ,
2. [Formel 8] ,
3. [Formel 9] ,
4. [Formel 10] ,
enthalten eine Reihe von (2n2 — n) Relationen unter den 4n2 Grössen Ka, b, Ja, b,
K'a, b, J'a, b . Die erste Gleichung nämlich, deren linke Seite identisch = 0 wird,
wenn man c = b nimmt, und nur ihr Zeichen wechselt, wenn diese beiden Indices
unter einander vertauscht werden, giebt [Formel 11] Relationen; eben so viele die
zweite; die dritte aber giebt deren n (n — 1), und die vierte n, alle zusammen also
enthalten [Formel 12] Relationen.

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[19/0024] 6. [FORMEL], oder 7. [FORMEL] Nimmt man endlich a = a2 b — 1, b = a2 a, c = a2c, d = a2 c + 1, und es ist ent- weder c > b oder c < b — 1, so giebt die Gleichung (3) des §. 1 8. [FORMEL] Setzt man in dieser Gleichung m für c und summirt von m = c bis m = n, so erhält man, wenn c von b verschieden ist, 9. [FORMEL] Denn wenn b > a ist, so ist jedes Glied, das bei der Summation in Betracht kommt, nach (9) = 0; wenn aber b < a ist, so sind nur diejenigen Glieder nicht = 0, welche man für m = b — 1 und m = b erhält; deren Summe aber ist in Folge der Gleichun- gen (5, 6, 7) ebenfalls = 0. Setzt man in der Gleichung (9) c = b + 1 und addirt alsdann zu ihr die Gleichung (5), und bemerkt, dass [FORMEL] ist, so erhält man 10. [FORMEL] §. 5. Die Gleichungen (2, 4, 9, 10) des vorhergehenden §., welche hier noch einmal zusammengestellt werden mögen: 1. [FORMEL], 2. [FORMEL], 3. [FORMEL], 4. [FORMEL], enthalten eine Reihe von (2n2 — n) Relationen unter den 4n2 Grössen Ka, b, Ja, b, K'a, b, J'a, b . Die erste Gleichung nämlich, deren linke Seite identisch = 0 wird, wenn man c = b nimmt, und nur ihr Zeichen wechselt, wenn diese beiden Indices unter einander vertauscht werden, giebt [FORMEL] Relationen; eben so viele die zweite; die dritte aber giebt deren n (n — 1), und die vierte n, alle zusammen also enthalten [FORMEL] Relationen. 4

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Zitationshilfe: Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 19. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/24>, abgerufen am 16.04.2024.