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Wolff, Christian von: Der Anfangs-Gründe Aller Mathematischen Wiessenschaften. Bd. 4. Halle (Saale), 1710.

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Anfangs-Gründe
qq: 4pp)-q:2p. Wiederumb px2 + qx ist
grösser als x3/ dannenhero px + q grösser als
x2/ und q grösser als x2 - px/ das ist x2 - px +
1/4 pp
kleiner als q + 1/4 pp/ x - 1/2p kleiner als V
(q + 1/4pp)/
endlich x kleiner als 1/2p + V (q + 1/4
pp.).
Die Schrancken also der Wurtzeln
sind V (r : p + qq: 4pp) - q : 2p und V (q + 1/4
pp).

Es sey x4 - qx2 - rx - s = o/ so ist x4 - qx2
= rx + s.
Demnach ist x2 grösser als q/
weil sich qx2 von x4 abziehen läst/ und x grös-
ser als V q. Also ist ferner xV q grösser als
qx. Wiederumb weil x4 - rx = qx2 + s/
so ist x3 grösser als r und x grösser als r1:3/
auch x3 r1:3 grösser als rx. Endlich da x4 -
s = qx2 rx/
so ist x4 grösser als s/ und x
grösser als s1:4/ folgends x3s1:4 grösser als s.
Weil nun x4 = qx2 + rx + s/ so ist x4 kleiner
als x3 V qr1:3 + x3 s1:4/ und deswegen x klei-
ner q1:2 + r1:3 + s1:4. Die Schrancken
der Wurtzel in gegenwärtigem Falle sind al-
so V q oder r1:3 und q1:2 + r1:3 + s1:4.

Eben so wird in andern Fällen verfahren.

Anmerckung.

311. Damit ihr dir vorgeschriebene Methode besser
fassen möget/ wil ich ein Exempel in Zahlen anführen.
Z. E. Es sey x3 - 3 x + 1 = 0/ so ist q = 3 und r
=1/ folgends r : q 1:3 und V q = V 3. Sol-
cher massen sind die Schrancken dieser Gleichung 2/3
und V 3/ das ist/ die Wurtzel muß grösser als 1/3 und
kleiner als V 3 seyn.

Zu-

Anfangs-Gruͤnde
qq: 4pp)-q:2p. Wiederumb px2 + qx iſt
groͤſſer als x3/ dannenhero px + q groͤſſer als
x2/ und q groͤſſer als x2px/ das iſt x2px +
¼ pp
kleiner als q + ¼ pp/ x ‒ ½p kleiner als V
(q + ¼pp)/
endlich x kleiner als ½p + V (q + ¼
pp.).
Die Schrancken alſo der Wurtzeln
ſind V (r : p + qq: 4pp) ‒ q : 2p und V (q + ¼
pp).

Es ſey x4qx2rx ‒ s = o/ ſo iſt x4qx2
= rx + s.
Demnach iſt x2 groͤſſer als q/
weil ſich qx2 von x4 abziehen laͤſt/ und x groͤſ-
ſer als V q. Alſo iſt ferner xV q groͤſſer als
qx. Wiederumb weil x4rx = qx2 + ſ/
ſo iſt x3 groͤſſer als r und x groͤſſer als r1:3/
auch x3 r1:3 groͤſſer als rx. Endlich da x4
s = qx2 rx/
ſo iſt x4 groͤſſer als s/ und x
groͤſſer als s1:4/ folgends x3s1:4 groͤſſer als s.
Weil nun x4 = qx2 + rx + s/ ſo iſt x4 kleiner
als x3 V qr1:3 + x3 s1:4/ und deswegen x klei-
ner q1:2 + r1:3 + s1:4. Die Schrancken
der Wurtzel in gegenwaͤrtigem Falle ſind al-
ſo V q oder r1:3 und q1:2 + r1:3 + s1:4.

Eben ſo wird in andern Faͤllen verfahren.

Anmerckung.

311. Damit ihr dir vorgeſchriebene Methode beſſer
faſſen moͤget/ wil ich ein Exempel in Zahlen anfuͤhren.
Z. E. Es ſey x3 ‒ 3 x + 1 = 0/ ſo iſt q = 3 und r
=1/ folgends r : q ≡ 1:3 und V q = V 3. Sol-
cher maſſen ſind die Schrancken dieſer Gleichung ⅔
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Zu-
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[172/0174] Anfangs-Gruͤnde qq: 4pp)-q:2p. Wiederumb px2 + qx iſt groͤſſer als x3/ dannenhero px + q groͤſſer als x2/ und q groͤſſer als x2 ‒ px/ das iſt x2 ‒ px + ¼ pp kleiner als q + ¼ pp/ x ‒ ½p kleiner als V (q + ¼pp)/ endlich x kleiner als ½p + V (q + ¼ pp.). Die Schrancken alſo der Wurtzeln ſind V (r : p + qq: 4pp) ‒ q : 2p und V (q + ¼ pp). Es ſey x4 ‒ qx2 ‒ rx ‒ s = o/ ſo iſt x4 ‒ qx2 = rx + s. Demnach iſt x2 groͤſſer als q/ weil ſich qx2 von x4 abziehen laͤſt/ und x groͤſ- ſer als V q. Alſo iſt ferner xV q groͤſſer als qx. Wiederumb weil x4 ‒ rx = qx2 + ſ/ ſo iſt x3 groͤſſer als r und x groͤſſer als r1:3/ auch x3 r1:3 groͤſſer als rx. Endlich da x4 ‒ s = qx2 rx/ ſo iſt x4 groͤſſer als s/ und x groͤſſer als s1:4/ folgends x3s1:4 groͤſſer als s. Weil nun x4 = qx2 + rx + s/ ſo iſt x4 kleiner als x3 V qr1:3 + x3 s1:4/ und deswegen x klei- ner q1:2 + r1:3 + s1:4. Die Schrancken der Wurtzel in gegenwaͤrtigem Falle ſind al- ſo V q oder r1:3 und q1:2 + r1:3 + s1:4. Eben ſo wird in andern Faͤllen verfahren. Anmerckung. 311. Damit ihr dir vorgeſchriebene Methode beſſer faſſen moͤget/ wil ich ein Exempel in Zahlen anfuͤhren. Z. E. Es ſey x3 ‒ 3 x + 1 = 0/ ſo iſt q = 3 und r =1/ folgends r : q ≡ 1:3 und V q = V 3. Sol- cher maſſen ſind die Schrancken dieſer Gleichung ⅔ und V 3/ das iſt/ die Wurtzel muß groͤſſer als ⅓ und kleiner als V 3 ſeyn. Zu-

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Zitationshilfe: Wolff, Christian von: Der Anfangs-Gründe Aller Mathematischen Wiessenschaften. Bd. 4. Halle (Saale), 1710. , S. 172. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/wolff_anfangsgruende04_1710/174>, abgerufen am 20.07.2024.