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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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[Formel 1] so sind zwar X, Y, Z ganz gleichbedeutend mit [Formel 2] ,
so lange O ausserhalb der Fläche liegt, aber genau zu reden
gilt diess nicht mehr, wenn O ein Punkt der Fläche selbst ist,
und die Ungleichheit gestaltet sich verschieden je nach der Be-
schaffenheit des Winkels, welchen die Normale auf die Fläche
mit der betreffenden Coordinatenaxe macht. Es ist offenbar
hinreichend, hier nur das Verhalten in Beziehung auf die erste
Coordinatenaxe anzugeben.

I. Ist jener Winkel = 0, so hat in O das Integral X ei-
nen bestimmten Werth, [Formel 3] hingegen hat zwei verschiedene
Werthe, je nachdem man dx als positiv oder als negativ be-
trachtet.

II. Ist der Winkel ein rechter, so lässt der Ausdruck für
X eine wahre Integration nicht zu (indem dann eine ähnliche
Bemerkung gilt, wie im 7 Artikel), während [Formel 4] nur Einen be-
stimmten Werth hat.

III. Ist der Winkel spitz, so verhält es sich mit X eben
so wie im zweiten, und mit [Formel 5] eben so wie im ersten Falle.

Noch besondre Modificationen treten ein, wenn in O eine
Unterbrechung der Stetigkeit entweder in Beziehung auf die
Dichtigkeit oder die Krümmung Statt findet. Für unsern Haupt-
zweck ist jedoch nicht nothwendig, solche Ausnahmsfälle, die
nur in einzelnen Linien oder Punkten eintreten können, aus-
führlich abzuhandeln, und wir werden daher bei der nähern
Erörterung des Gegenstandes annehmen, dass in dem fraglichen
Punkte eine bestimmte endliche Dichtigkeit, und eine bestimmte
Berührungsebene Statt findet.

14.

Ehe wir die Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vor-
nehmen, wird es nützlich sein, einen einfachen besondern Fall
zu betrachten. Es sei die Fläche das Stück A einer Kugel-

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[Formel 1] so sind zwar X, Y, Z ganz gleichbedeutend mit [Formel 2] ,
so lange O auſserhalb der Fläche liegt, aber genau zu reden
gilt dieſs nicht mehr, wenn O ein Punkt der Fläche selbst ist,
und die Ungleichheit gestaltet sich verschieden je nach der Be-
schaffenheit des Winkels, welchen die Normale auf die Fläche
mit der betreffenden Coordinatenaxe macht. Es ist offenbar
hinreichend, hier nur das Verhalten in Beziehung auf die erste
Coordinatenaxe anzugeben.

I. Ist jener Winkel = 0, so hat in O das Integral X ei-
nen bestimmten Werth, [Formel 3] hingegen hat zwei verschiedene
Werthe, je nachdem man dx als positiv oder als negativ be-
trachtet.

II. Ist der Winkel ein rechter, so läſst der Ausdruck für
X eine wahre Integration nicht zu (indem dann eine ähnliche
Bemerkung gilt, wie im 7 Artikel), während [Formel 4] nur Einen be-
stimmten Werth hat.

III. Ist der Winkel spitz, so verhält es sich mit X eben
so wie im zweiten, und mit [Formel 5] eben so wie im ersten Falle.

Noch besondre Modificationen treten ein, wenn in O eine
Unterbrechung der Stetigkeit entweder in Beziehung auf die
Dichtigkeit oder die Krümmung Statt findet. Für unsern Haupt-
zweck ist jedoch nicht nothwendig, solche Ausnahmsfälle, die
nur in einzelnen Linien oder Punkten eintreten können, aus-
führlich abzuhandeln, und wir werden daher bei der nähern
Erörterung des Gegenstandes annehmen, daſs in dem fraglichen
Punkte eine bestimmte endliche Dichtigkeit, und eine bestimmte
Berührungsebene Statt findet.

14.

Ehe wir die Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vor-
nehmen, wird es nützlich sein, einen einfachen besondern Fall
zu betrachten. Es sei die Fläche das Stück A einer Kugel-

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[19/0024] [FORMEL] so sind zwar X, Y, Z ganz gleichbedeutend mit [FORMEL], so lange O auſserhalb der Fläche liegt, aber genau zu reden gilt dieſs nicht mehr, wenn O ein Punkt der Fläche selbst ist, und die Ungleichheit gestaltet sich verschieden je nach der Be- schaffenheit des Winkels, welchen die Normale auf die Fläche mit der betreffenden Coordinatenaxe macht. Es ist offenbar hinreichend, hier nur das Verhalten in Beziehung auf die erste Coordinatenaxe anzugeben. I. Ist jener Winkel = 0, so hat in O das Integral X ei- nen bestimmten Werth, [FORMEL] hingegen hat zwei verschiedene Werthe, je nachdem man dx als positiv oder als negativ be- trachtet. II. Ist der Winkel ein rechter, so läſst der Ausdruck für X eine wahre Integration nicht zu (indem dann eine ähnliche Bemerkung gilt, wie im 7 Artikel), während [FORMEL] nur Einen be- stimmten Werth hat. III. Ist der Winkel spitz, so verhält es sich mit X eben so wie im zweiten, und mit [FORMEL] eben so wie im ersten Falle. Noch besondre Modificationen treten ein, wenn in O eine Unterbrechung der Stetigkeit entweder in Beziehung auf die Dichtigkeit oder die Krümmung Statt findet. Für unsern Haupt- zweck ist jedoch nicht nothwendig, solche Ausnahmsfälle, die nur in einzelnen Linien oder Punkten eintreten können, aus- führlich abzuhandeln, und wir werden daher bei der nähern Erörterung des Gegenstandes annehmen, daſs in dem fraglichen Punkte eine bestimmte endliche Dichtigkeit, und eine bestimmte Berührungsebene Statt findet. 14. Ehe wir die Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vor- nehmen, wird es nützlich sein, einen einfachen besondern Fall zu betrachten. Es sei die Fläche das Stück A einer Kugel- 2*

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 19. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/24>, abgerufen am 19.04.2024.