Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

so oft, als seine Multiplicität anzeigt, so erhält man, den Wurzeln von $\psi = 0$ entsprechend, n algebraische Unstetigkeitspuncte. Die Kreuzungspuncte sind durch $\psi\varphi^\prime - \varphi\psi^\prime = 0$, eine Gleichung $(2n - 2)^{\text{ten}}$ Grades, gegeben. Die Gesammtmultiplicität der Kreuzungspuncte ist also $2n - 2$, wobei man aber beachten muss, dass jede $\nu$-fache Wurzel von $\psi = 0$ eine $(\nu-1)$-fache Wurzel von $\psi^\prime = 0$ ist und also jeder $\nu$-fache Unendlichkeitspunct der Function für $(\nu - 1)$ Kreuzungspuncte mitzählt.

2) Soll das Integral einer rationalen Function
$W = \int\frac{\Phi(z)}{\Psi(z)}\ dz$
für $z = \infty$ endlich bleiben, so muss der Grad von $\Phi$ um zwei Einheiten kleiner sein als der Grad von $\Psi$. $\Phi$ und $\Psi$ sollen dabei ohne gemeinsamen Theiler angenommen werden. Dann liefert $\Phi = 0$ die freien Kreuzungspuncte, d. h. diejenigen Kreuzungspuncte, welche nicht mit Unendlichkeitspuncten zusammenfallen. Die Wurzeln von $\Psi = 0$ geben die Unendlichkeitspuncte des Integrals. Und zwar entspricht der einfachen Wurzel von $\Psi = 0$ ein logarithmischer Unendlichkeitspunct, der Doppelwurzel ein Unendlichkeitspunct, der im Allgemeinen die Ueberlagerung eines logarithmischen Unstetigkeitspunctes mit einem einfachen algebraischen sein wird, etc. Wenn man dementsprechend jeden Unendlichkeitspunct so oft zählt, als die Multiplicität des entsprechenden Factors in $\Psi$ beträgt, so ist die Gesammtmultiplicität der Kreuzungspuncte um zwei Einheiten geringer als die der Unendlichkeitspuncte. Uebrigens sei noch an den bekannten Satz erinnert, dass die Summe der logarithmischen Residua sämmtlicher Unstetigkeitspuncte gleich Null ist. —

Das Vorstehende gibt uns eine zweifache Möglichkeit, um höhere Unstetigkeitspuncte aus niederen entstehen zu lassen. Wir können einmal — und diess ist für uns das Wichtigste — vom Integral der rationalen Function ausgehen. Bei ihm entsteht ein $\nu$-facher algebraischer Unstetigkeitspunct, wenn $\nu + 1$ Factoren von $\Psi$ einander gleich werden, wenn also $\nu + 1$ logarithmische Unstetigkeitspuncte in geeigneter Weise zusammenrücken. Dabei ist deutlich, dass die Residuensumme der letzteren gleich Null sein muss, wenn der entstehende