Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

Bild:
<< vorherige Seite

eines -fachen Krenzungspunctes derart in Sectoren zerlegen kann, dass innerhalb jedes Sectors denselben Werthvorrath durchläuft. Daher werden oberhalb der betreffenden Stelle der Ebene Blätter der conformen Abbildung derart zusammenhängen, dass eine Umlaufung der Stelle von einem Blatte in ein zweites, von diesem in ein drittes führt etc., und dass eine -malige Umlaufung derselben nöthig wird, um zum Anfangspuncte zurückzugelangen. Diess ist aber genau, was man gewöhnlich als einen -fachen Verzweigungspunct bezeichnet. Dabei ist die Abbildung in diesem Puncte selbst natürlich keine conforme mehr; man beweist leicht, dass der Winkel, den irgend zwei auf der ursprünglichen Fläche verlaufende sich im Kreuzungspuncte schneidende Curven mit einander bilden, auf der über der -Ebene ausgebreiteten Riemann'schen Fläche genau mit multiplicirt erscheint. --

Aber zugleich erkennen wir die Bedeutung, welche diese mehrblättrige Fläche für unsere Zwecke beanspruchen kann. Alle Flächen, welche durch conforme Abbildung eindeutig aus einander hervorgehen, sind für uns gleichbedeutend (§. 8). Wir können also die m-blättrige Fläche über der Ebene ebensogut zu Grunde legen, wie die bisher benutzte Fläche, die wir uns ohne jedes singuläre Vorkommniss frei im Raume gelegen vorstellten. Dabei kommt die Schwierigkeit, die man in dem Auftreten der Verzweigungspuncte erblicken könnte, von vorneherein in Wegfall: denn wir werden nur solche Strömungen auf der mehrblättrigen Fläche in Betracht ziehen, welche sich in der Umgebung der Verzweigungspuncte derart verhalten, dass sie rückwärts auf die im Raume gelegene ursprüngliche Fläche übertragen dort keine anderen singulären Vorkommnisse darbieten, als die ohnehin gestatteten. Hierzu ist nicht einmal nöthig, dass man eine entsprechende im

Wir haben oben (§. 11) ohne ausgeführten Beweis angegeben, dass die Zahl der Kreuzungspuncte von beträgt. Wie man jetzt sieht, ist diese Behauptung eine einfache Umsetzung der bekannten Relation, welche die Zahl der Verzweigungspuncte (oder vielmehr die Gesammtmultiplicität derselben) mit der Blätterzahl m und dem p einer mehrblättrigen Fläche verknüpft [unter p die Maximahlzahl der Rückkehrschnitte verstanden, die man auf dieser mehrblättrigen Fläche ziehen kann, ohne sie zu zerstücken].

eines -fachen Krenzungspunctes derart in Sectoren zerlegen kann, dass innerhalb jedes Sectors denselben Werthvorrath durchläuft. Daher werden oberhalb der betreffenden Stelle der Ebene Blätter der conformen Abbildung derart zusammenhängen, dass eine Umlaufung der Stelle von einem Blatte in ein zweites, von diesem in ein drittes führt etc., und dass eine -malige Umlaufung derselben nöthig wird, um zum Anfangspuncte zurückzugelangen. Diess ist aber genau, was man gewöhnlich als einen -fachen Verzweigungspunct bezeichnet. Dabei ist die Abbildung in diesem Puncte selbst natürlich keine conforme mehr; man beweist leicht, dass der Winkel, den irgend zwei auf der ursprünglichen Fläche verlaufende sich im Kreuzungspuncte schneidende Curven mit einander bilden, auf der über der -Ebene ausgebreiteten Riemann'schen Fläche genau mit multiplicirt erscheint. —

Aber zugleich erkennen wir die Bedeutung, welche diese mehrblättrige Fläche für unsere Zwecke beanspruchen kann. Alle Flächen, welche durch conforme Abbildung eindeutig aus einander hervorgehen, sind für uns gleichbedeutend (§. 8). Wir können also die m-blättrige Fläche über der Ebene ebensogut zu Grunde legen, wie die bisher benutzte Fläche, die wir uns ohne jedes singuläre Vorkommniss frei im Raume gelegen vorstellten. Dabei kommt die Schwierigkeit, die man in dem Auftreten der Verzweigungspuncte erblicken könnte, von vorneherein in Wegfall: denn wir werden nur solche Strömungen auf der mehrblättrigen Fläche in Betracht ziehen, welche sich in der Umgebung der Verzweigungspuncte derart verhalten, dass sie rückwärts auf die im Raume gelegene ursprüngliche Fläche übertragen dort keine anderen singulären Vorkommnisse darbieten, als die ohnehin gestatteten. Hierzu ist nicht einmal nöthig, dass man eine entsprechende im

Wir haben oben (§. 11) ohne ausgeführten Beweis angegeben, dass die Zahl der Kreuzungspuncte von beträgt. Wie man jetzt sieht, ist diese Behauptung eine einfache Umsetzung der bekannten Relation, welche die Zahl der Verzweigungspuncte (oder vielmehr die Gesammtmultiplicität derselben) mit der Blätterzahl m und dem p einer mehrblättrigen Fläche verknüpft [unter p die Maximahlzahl der Rückkehrschnitte verstanden, die man auf dieser mehrblättrigen Fläche ziehen kann, ohne sie zu zerstücken].
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div>
          <p><pb facs="#f0056" n="48"/>
eines <formula notation="TeX">\nu</formula>-fachen Krenzungspunctes derart in <formula notation="TeX">(\nu + 1)</formula>
 Sectoren zerlegen kann, dass <formula notation="TeX">x + iy</formula> innerhalb jedes Sectors
 denselben Werthvorrath durchläuft. <hi rendition="#i">Daher werden oberhalb
 der betreffenden Stelle der <formula notation="TeX">(x + iy)</formula> Ebene <formula notation="TeX">(\nu + 1)</formula> Blätter der
 conformen Abbildung derart zusammenhängen, dass eine Umlaufung
 der Stelle von einem Blatte in ein zweites, von diesem
 in ein drittes führt etc., und dass eine <formula notation="TeX">(\nu + 1)</formula>-malige Umlaufung
 derselben nöthig wird, um zum Anfangspuncte zurückzugelangen.</hi> Diess ist aber genau, was man gewöhnlich als
 einen <formula notation="TeX">\nu</formula>-fachen <hi rendition="#i">Verzweigungspunct</hi> bezeichnet<note place="foot"><p>Wir haben oben (§. 11) ohne ausgeführten Beweis angegeben,
 dass die Zahl der Kreuzungspuncte von <formula notation="TeX">x + iy (2m + 2p - 2)</formula> beträgt.
 Wie man jetzt sieht, ist diese Behauptung eine einfache Umsetzung
 der bekannten Relation, welche die Zahl der Verzweigungspuncte
 (oder vielmehr die Gesammtmultiplicität derselben) mit der Blätterzahl <hi rendition="#i">m</hi> und dem <hi rendition="#i">p</hi> einer mehrblättrigen Fläche verknüpft [unter <hi rendition="#i">p</hi> die
 Maximahlzahl der Rückkehrschnitte verstanden, die man auf dieser
 mehrblättrigen Fläche ziehen kann, ohne sie zu zerstücken].</p></note>. Dabei ist
 die Abbildung in diesem Puncte selbst natürlich keine conforme
 mehr; man beweist leicht, dass der Winkel, den irgend
 zwei auf der ursprünglichen Fläche verlaufende sich im
 Kreuzungspuncte schneidende Curven mit einander bilden,
 auf der über der <formula notation="TeX">(x + iy)</formula>-Ebene ausgebreiteten Riemann'schen
   Fläche genau mit <formula notation="TeX">(\nu + 1)</formula> multiplicirt erscheint. &#x2014;</p>
          <p><hi rendition="#i">Aber zugleich erkennen wir die Bedeutung, welche diese
 mehrblättrige Fläche für unsere Zwecke beanspruchen kann.</hi> Alle Flächen, welche durch conforme Abbildung eindeutig
 aus einander hervorgehen, sind für uns gleichbedeutend (§. 8).
 Wir können also die <hi rendition="#i">m</hi>-blättrige Fläche über der Ebene
 ebensogut zu Grunde legen, wie die bisher benutzte Fläche,
 die wir uns ohne jedes singuläre Vorkommniss frei im Raume
 gelegen vorstellten. Dabei kommt die Schwierigkeit, die man
 in dem Auftreten der Verzweigungspuncte erblicken könnte,
 von vorneherein in Wegfall: denn wir werden nur solche
 Strömungen auf der mehrblättrigen Fläche in Betracht ziehen,
 welche sich in der Umgebung der Verzweigungspuncte derart
 verhalten, dass sie rückwärts auf die im Raume gelegene ursprüngliche
 Fläche übertragen dort keine anderen singulären
 Vorkommnisse darbieten, als die ohnehin gestatteten. Hierzu
 ist nicht einmal nöthig, dass man eine entsprechende im
</p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[48/0056] eines [FORMEL]-fachen Krenzungspunctes derart in [FORMEL] Sectoren zerlegen kann, dass [FORMEL] innerhalb jedes Sectors denselben Werthvorrath durchläuft. Daher werden oberhalb der betreffenden Stelle der [FORMEL] Ebene [FORMEL] Blätter der conformen Abbildung derart zusammenhängen, dass eine Umlaufung der Stelle von einem Blatte in ein zweites, von diesem in ein drittes führt etc., und dass eine [FORMEL]-malige Umlaufung derselben nöthig wird, um zum Anfangspuncte zurückzugelangen. Diess ist aber genau, was man gewöhnlich als einen [FORMEL]-fachen Verzweigungspunct bezeichnet . Dabei ist die Abbildung in diesem Puncte selbst natürlich keine conforme mehr; man beweist leicht, dass der Winkel, den irgend zwei auf der ursprünglichen Fläche verlaufende sich im Kreuzungspuncte schneidende Curven mit einander bilden, auf der über der [FORMEL]-Ebene ausgebreiteten Riemann'schen Fläche genau mit [FORMEL] multiplicirt erscheint. — Aber zugleich erkennen wir die Bedeutung, welche diese mehrblättrige Fläche für unsere Zwecke beanspruchen kann. Alle Flächen, welche durch conforme Abbildung eindeutig aus einander hervorgehen, sind für uns gleichbedeutend (§. 8). Wir können also die m-blättrige Fläche über der Ebene ebensogut zu Grunde legen, wie die bisher benutzte Fläche, die wir uns ohne jedes singuläre Vorkommniss frei im Raume gelegen vorstellten. Dabei kommt die Schwierigkeit, die man in dem Auftreten der Verzweigungspuncte erblicken könnte, von vorneherein in Wegfall: denn wir werden nur solche Strömungen auf der mehrblättrigen Fläche in Betracht ziehen, welche sich in der Umgebung der Verzweigungspuncte derart verhalten, dass sie rückwärts auf die im Raume gelegene ursprüngliche Fläche übertragen dort keine anderen singulären Vorkommnisse darbieten, als die ohnehin gestatteten. Hierzu ist nicht einmal nöthig, dass man eine entsprechende im Wir haben oben (§. 11) ohne ausgeführten Beweis angegeben, dass die Zahl der Kreuzungspuncte von [FORMEL] beträgt. Wie man jetzt sieht, ist diese Behauptung eine einfache Umsetzung der bekannten Relation, welche die Zahl der Verzweigungspuncte (oder vielmehr die Gesammtmultiplicität derselben) mit der Blätterzahl m und dem p einer mehrblättrigen Fläche verknüpft [unter p die Maximahlzahl der Rückkehrschnitte verstanden, die man auf dieser mehrblättrigen Fläche ziehen kann, ohne sie zu zerstücken].

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde im Rahmen des Moduls DTA-Erweiterungen (DTAE) digitalisiert. Weitere Informationen …

gutenberg.org: Bereitstellung der Texttranskription und Auszeichnung in HTML. (2012-11-06T13:54:31Z) Bitte beachten Sie, dass die aktuelle Transkription (und Textauszeichnung) mittlerweile nicht mehr dem Stand zum Zeitpunkt der Übernahme aus gutenberg.org entsprechen muss.
gutenberg.org: Bereitstellung der Bilddigitalisate (2012-11-06T13:54:31Z)
Frank Wiegand: Konvertierung von HTML nach XML/TEI gemäß DTA-Basisformat. (2012-11-06T13:54:31Z)

Weitere Informationen:

Anmerkungen zur Transkription:

  • Schreibweise und Interpunktion des Originaltextes wurden übernommen.
  • Der Zeilenfall wurde nicht beibehalten, die Silbentrennung wurde aufgehoben.



Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/56
Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 48. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/56>, abgerufen am 28.03.2024.