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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

Der Zusatz 1 zur Def. (6) der Negation knüpft l. c. an die Vor-
aussetzungen

30x)a a1 = 0a + a1 = 130+)
30'x)a a'1 = 0a + a'1 = 130'+)
die Behauptung
a'1 = a1
und wird von R. Grassmann wie folgt bewiesen.

Nach Th. 21x), der Voraussetzung 30'+), Prinzip IIIx, der Voraus-
setzung 30x) und Th. 21+) haben wir:
a1 = a1 · 1 = a1 (a + a'1) = a1 a + a1 a'1 = 0 + a1 a'1 = a1 a'1,
und ebenso, nur 30') mit 30) bei den Citaten vertauscht:
a'1 = a'1 · 1 = a'1 (a + a1) = a'1 a + a'1 a1 = 0 + a'1 a1 = a1 a'1,
also a'1 = a1 kraft Th. 4), q. e. d.

Das Theorem 31)
(a1)1 = a
wird ferner so bewiesen.

Nach Th. 21), 30), Pr. IIIx, Th. 30x) und 21x) ist:
(a1)1 = (a1)1 · 1 = (a1)1 (a + a1) = (a1)1 a + (a1)1 a1 = (a1)1 a + 0 = (a1)1 a,
a = a · 1 = a {a1 + (a1)1} = a a1 + a (a1)1 = 0 + a (a1)1 = (a1)1 a,
also (a1)1 = a wiederum nach Th. 4), q. e. d.

In ähnlicher Weise lässt sich auch bei dem Beweise der Theoreme 36)
De Morgan's Bd. 1, S. 352 das Hülfstheorem 29) entbehren.

z. B. links vom Mittelstriche:
Th. 36x) (a b)1 = a1 + b1;

Beweis. Nach 21x), 30x), IIIx, 27x) 13x), 30+) und 21+) ist
a1 + b1 = (a1 + b1) · 1 = (a1 + b1) {(a b) + (a b)1} = (a1 + b1) (a b) +
+ (a1 + b1) (a b)1 = a1 a b + b1 a b + (a1 + b1) (a b)1 = 0 + 0 +
+ (a1 + b1) (a b)1 = (a1 + b1) (a b)1
und ebenso nach 21x), Zusatz zu 34), 27x) usw.
(a b)1 = (a b)1 · 1 = (a b)1 (a1 + b1 + a b) = (a b)1 (a1 + b1) + (a b)1 (a b) =
= (a b)1 (a1 + b1) + 0 = (a b)1 (a1 + b1),
sonach a1 + b1 = (a b)1 kraft Th. 4), q. e. d.

Man sieht jedoch, wie diese Beweise eben durch Vorannehmen des
Hülfstheorems 29) in unserem Bd. 1 einfacher gestaltet sind.

Gleichwol erscheint der in Bd. 1, S. 352 von mir gegebene Beweis
des Th. 36) dem oben vorgetragenen Peirce'schen gegenüber, -- nachdem
dieser zur Aufnahme in unser System geeignet geworden, -- nun als ein
minderwertiger.

§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

Der Zusatz 1 zur Def. (6) der Negation knüpft l. c. an die Vor-
aussetzungen

30×)a a1 = 0a + a1 = 130+)
30'×)a a'1 = 0a + a'1 = 130'+)
die Behauptung
a'1 = a1
und wird von R. Grassmann wie folgt bewiesen.

Nach Th. 21×), der Voraussetzung 30'+), Prinzip III×, der Voraus-
setzung 30×) und Th. 21+) haben wir:
a1 = a1 · 1 = a1 (a + a'1) = a1 a + a1 a'1 = 0 + a1 a'1 = a1 a'1,
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Das Theorem 31)
(a1)1 = a
wird ferner so bewiesen.

Nach Th. 21), 30), Pr. III×, Th. 30×) und 21×) ist:
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In ähnlicher Weise lässt sich auch bei dem Beweise der Theoreme 36)
De Morgan’s Bd. 1, S. 352 das Hülfstheorem 29) entbehren.

z. B. links vom Mittelstriche:
Th. 36×) (a b)1 = a1 + b1;

Beweis. Nach 21×), 30×), III×, 27×) 13×), 30+) und 21+) ist
a1 + b1 = (a1 + b1) · 1 = (a1 + b1) {(a b) + (a b)1} = (a1 + b1) (a b) +
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und ebenso nach 21×), Zusatz zu 34), 27×) usw.
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= (a b)1 (a1 + b1) + 0 = (a b)1 (a1 + b1),
sonach a1 + b1 = (a b)1 kraft Th. 4), q. e. d.

Man sieht jedoch, wie diese Beweise eben durch Vorannehmen des
Hülfstheorems 29) in unserem Bd. 1 einfacher gestaltet sind.

Gleichwol erscheint der in Bd. 1, S. 352 von mir gegebene Beweis
des Th. 36) dem oben vorgetragenen Peirce’schen gegenüber, — nachdem
dieser zur Aufnahme in unser System geeignet geworden, — nun als ein
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[405/0049] § 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes. Der Zusatz 1 zur Def. (6) der Negation knüpft l. c. an die Vor- aussetzungen 30×) a a1 = 0 a + a1 = 1 30+) 30'×) a a'1 = 0 a + a'1 = 1 30'+) die Behauptung a'1 = a1 und wird von R. Grassmann wie folgt bewiesen. Nach Th. 21×), der Voraussetzung 30'+), Prinzip III×, der Voraus- setzung 30×) und Th. 21+) haben wir: a1 = a1 · 1 = a1 (a + a'1) = a1 a + a1 a'1 = 0 + a1 a'1 = a1 a'1, und ebenso, nur 30') mit 30) bei den Citaten vertauscht: a'1 = a'1 · 1 = a'1 (a + a1) = a'1 a + a'1 a1 = 0 + a'1 a1 = a1 a'1, also a'1 = a1 kraft Th. 4), q. e. d. Das Theorem 31) (a1)1 = a wird ferner so bewiesen. Nach Th. 21), 30), Pr. III×, Th. 30×) und 21×) ist: (a1)1 = (a1)1 · 1 = (a1)1 (a + a1) = (a1)1 a + (a1)1 a1 = (a1)1 a + 0 = (a1)1 a, a = a · 1 = a {a1 + (a1)1} = a a1 + a (a1)1 = 0 + a (a1)1 = (a1)1 a, also (a1)1 = a wiederum nach Th. 4), q. e. d. In ähnlicher Weise lässt sich auch bei dem Beweise der Theoreme 36) De Morgan’s Bd. 1, S. 352 das Hülfstheorem 29) entbehren. z. B. links vom Mittelstriche: Th. 36×) (a b)1 = a1 + b1; Beweis. Nach 21×), 30×), III×, 27×) 13×), 30+) und 21+) ist a1 + b1 = (a1 + b1) · 1 = (a1 + b1) {(a b) + (a b)1} = (a1 + b1) (a b) + + (a1 + b1) (a b)1 = a1 a b + b1 a b + (a1 + b1) (a b)1 = 0 + 0 + + (a1 + b1) (a b)1 = (a1 + b1) (a b)1 und ebenso nach 21×), Zusatz zu 34), 27×) usw. (a b)1 = (a b)1 · 1 = (a b)1 (a1 + b1 + a b) = (a b)1 (a1 + b1) + (a b)1 (a b) = = (a b)1 (a1 + b1) + 0 = (a b)1 (a1 + b1), sonach a1 + b1 = (a b)1 kraft Th. 4), q. e. d. Man sieht jedoch, wie diese Beweise eben durch Vorannehmen des Hülfstheorems 29) in unserem Bd. 1 einfacher gestaltet sind. Gleichwol erscheint der in Bd. 1, S. 352 von mir gegebene Beweis des Th. 36) dem oben vorgetragenen Peirce’schen gegenüber, — nachdem dieser zur Aufnahme in unser System geeignet geworden, — nun als ein minderwertiger.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 405. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/49>, abgerufen am 25.04.2024.