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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Vierundzwanzigste Vorlesung.

Resumirend können wir etwa sagen, dass die Umordnung der
chiffrirten Sätze unserer Theorie in die nachstehende Reihenfolge: 1)
bis 31), 38), 37), 32), 33), 34), 35), 41), 36), 39), 40), 42) usw. durch-
führbar ist und hinsichtlich der Eleganz der dadurch ermöglichten
Beweisführungen nicht zu verachtende Vorteile bietet.

Hiermit gelangt eine erste Gruppe unserer Vervollkommnungs-
bestrebungen zum Abschluss.

In einem ganz kurzen "Abriss" der algebraischen Logik, den ich
plane, gedenke ich den nach vorstehenden Andeutungen (vergl. auch
unten S. 423) verbesserten Lehrgang zu verwirklichen.

Eine zweite Gruppe von auf Vervollkommnung der Theorie im
ersten Bande abzielenden Bemerkungen bezieht sich auf die Theoreme 45)
und 46) des § 19, Bd. 1, S. 420 ... 424, sowie Bd. 2, S. 33 f., welche
lehren, wie mit im Sinne Boole's "entwickelten" Funktionen identisch
zu rechnen sei.

Zunächst, -- wie wir jedoch sehn werden, blos "formell" -- lassen
diese Sätze eine naheliegende Verallgemeinerung zu, indem an die Stelle
der "Konstituenten" in den Boole'schen Entwicklungsschemata auch
treten darf irgend ein System von Argumenten (Gebieten, Klassen),
von denen weiter nichts bekannt zu sein braucht, als dass sie unter
sich disjunkt sind. Für solche Argumente mögen wir füglich den
Namen "Konstituenten" beibehalten.

Dann aber handelt es sich von vornherein nicht sowol um
Funktionen, welche gemäss den Boole'schen Schemata nach jenen Ar-
gumenten "entwickelt" zu denken wären, als vielmehr einfacher blos
um Ausdrücke, welche eben inbezug auf diese Argumente linear und
homogen sind.

Gedachte Verallgemeinerungen präsentiren sich in der That als
die Hülfssätze:

Funktionen oder Ausdrücke, welche homogen linear sind inbezug
auf ein System von disjunkten Argumenten (den "Konstituenten"), können --
gleichwie durch Addition, so auch -- durch Multiplikation "überschiebend"
("durch Superposition") verknüpft werden; das heisst: man braucht immer
nur die Koeffizienten ihrer gleichnamigen Glieder durch die betreffende
Rechnungsart zu verknüpfen.

Letztere mag man vielleicht kurz ihre "gleichstelligen" oder "korre-
spondirenden", "homologen" Koeffizienten nennen, -- jenes, insofern man
sich die Glieder einer jeden von den Funktionen nach den Argumenten
"geordnet" denkt. Als "gleichnamig" sollten hier wiederum nur diejenigen

Vierundzwanzigste Vorlesung.

Resumirend können wir etwa sagen, dass die Umordnung der
chiffrirten Sätze unserer Theorie in die nachstehende Reihenfolge: 1)
bis 31), 38), 37), 32), 33), 34), 35), 41), 36), 39), 40), 42) usw. durch-
führbar ist und hinsichtlich der Eleganz der dadurch ermöglichten
Beweisführungen nicht zu verachtende Vorteile bietet.

Hiermit gelangt eine erste Gruppe unserer Vervollkommnungs-
bestrebungen zum Abschluss.

In einem ganz kurzen „Abriss“ der algebraischen Logik, den ich
plane, gedenke ich den nach vorstehenden Andeutungen (vergl. auch
unten S. 423) verbesserten Lehrgang zu verwirklichen.

Eine zweite Gruppe von auf Vervollkommnung der Theorie im
ersten Bande abzielenden Bemerkungen bezieht sich auf die Theoreme 45)
und 46) des § 19, Bd. 1, S. 420 … 424, sowie Bd. 2, S. 33 f., welche
lehren, wie mit im Sinne Boole’s „entwickelten“ Funktionen identisch
zu rechnen sei.

Zunächst, — wie wir jedoch sehn werden, blos „formell“ — lassen
diese Sätze eine naheliegende Verallgemeinerung zu, indem an die Stelle
der „Konstituenten“ in den Boole’schen Entwicklungsschemata auch
treten darf irgend ein System von Argumenten (Gebieten, Klassen),
von denen weiter nichts bekannt zu sein braucht, als dass sie unter
sich disjunkt sind. Für solche Argumente mögen wir füglich den
Namen „Konstituenten“ beibehalten.

Dann aber handelt es sich von vornherein nicht sowol um
Funktionen, welche gemäss den Boole’schen Schemata nach jenen Ar-
gumenten „entwickelt“ zu denken wären, als vielmehr einfacher blos
um Ausdrücke, welche eben inbezug auf diese Argumente linear und
homogen sind.

Gedachte Verallgemeinerungen präsentiren sich in der That als
die Hülfssätze:

Funktionen oder Ausdrücke, welche homogen linear sind inbezug
auf ein System von disjunkten Argumenten (den „Konstituenten“), können —
gleichwie durch Addition, so auch — durch Multiplikation „überschiebend“
(„durch Superposition“) verknüpft werden; das heisst: man braucht immer
nur die Koeffizienten ihrer gleichnamigen Glieder durch die betreffende
Rechnungsart zu verknüpfen.

Letztere mag man vielleicht kurz ihre „gleichstelligen“ oder „korre-
spondirenden“, „homologen“ Koeffizienten nennen, — jenes, insofern man
sich die Glieder einer jeden von den Funktionen nach den Argumenten
„geordnet“ denkt. Als „gleichnamig“ sollten hier wiederum nur diejenigen

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[406/0050] Vierundzwanzigste Vorlesung. Resumirend können wir etwa sagen, dass die Umordnung der chiffrirten Sätze unserer Theorie in die nachstehende Reihenfolge: 1) bis 31), 38), 37), 32), 33), 34), 35), 41), 36), 39), 40), 42) usw. durch- führbar ist und hinsichtlich der Eleganz der dadurch ermöglichten Beweisführungen nicht zu verachtende Vorteile bietet. Hiermit gelangt eine erste Gruppe unserer Vervollkommnungs- bestrebungen zum Abschluss. In einem ganz kurzen „Abriss“ der algebraischen Logik, den ich plane, gedenke ich den nach vorstehenden Andeutungen (vergl. auch unten S. 423) verbesserten Lehrgang zu verwirklichen. Eine zweite Gruppe von auf Vervollkommnung der Theorie im ersten Bande abzielenden Bemerkungen bezieht sich auf die Theoreme 45) und 46) des § 19, Bd. 1, S. 420 … 424, sowie Bd. 2, S. 33 f., welche lehren, wie mit im Sinne Boole’s „entwickelten“ Funktionen identisch zu rechnen sei. Zunächst, — wie wir jedoch sehn werden, blos „formell“ — lassen diese Sätze eine naheliegende Verallgemeinerung zu, indem an die Stelle der „Konstituenten“ in den Boole’schen Entwicklungsschemata auch treten darf irgend ein System von Argumenten (Gebieten, Klassen), von denen weiter nichts bekannt zu sein braucht, als dass sie unter sich disjunkt sind. Für solche Argumente mögen wir füglich den Namen „Konstituenten“ beibehalten. Dann aber handelt es sich von vornherein nicht sowol um Funktionen, welche gemäss den Boole’schen Schemata nach jenen Ar- gumenten „entwickelt“ zu denken wären, als vielmehr einfacher blos um Ausdrücke, welche eben inbezug auf diese Argumente linear und homogen sind. Gedachte Verallgemeinerungen präsentiren sich in der That als die Hülfssätze: Funktionen oder Ausdrücke, welche homogen linear sind inbezug auf ein System von disjunkten Argumenten (den „Konstituenten“), können — gleichwie durch Addition, so auch — durch Multiplikation „überschiebend“ („durch Superposition“) verknüpft werden; das heisst: man braucht immer nur die Koeffizienten ihrer gleichnamigen Glieder durch die betreffende Rechnungsart zu verknüpfen. Letztere mag man vielleicht kurz ihre „gleichstelligen“ oder „korre- spondirenden“, „homologen“ Koeffizienten nennen, — jenes, insofern man sich die Glieder einer jeden von den Funktionen nach den Argumenten „geordnet“ denkt. Als „gleichnamig“ sollten hier wiederum nur diejenigen

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 406. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/50>, abgerufen am 18.04.2024.