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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Stützlinie für das Kreisgewölbe.
§. 377.

Wir kommen nunmehr zur Untersuchung der Bedingnisse, unter welchen Ge-
wölbe ohne jene Belastung, die in den zwei vorhergehenden §. §.
berechnet wurde, sich zu erhalten im Stande sind, und wollen wieder
zuerst die Umstände aufsuchen, unter welchen ein freies Kreisgewölbe sich
selbst zu erhalten vermag. *)

zonte zu finden, müssen wir zu M N noch die Höhe [Formel 10] . Cos v = b . Cos vFig.
9.
Tab.
18.
addiren und erhalten demnach [Formel 11] Setzen wir wieder den Differenzialcoeffizienten
-- [Formel 12] , so gibt diess, wie bei dem Kreisgewölbe für den einen Faktor
Sin v = 0, in der Mitte des Gewölbes die Höhe B C = b + h, und für den andern Faktor
-- [Formel 13] , ist [Formel 14] , demnach die Höhe [Formel 15] .
Beispiel. Es sey b = 2/3 a und [Formel 16] wie vorher [Formel 17] , so ist Cos [Formel 18]
31Min., demnach kann für ein freies Tonnengewölbe der elyptische Bogen nur bis zu dem Winkel von
381/2 Grad eine Stützlinie abgeben, und der weitere Bogen erfordert eben so wie bei der Kreis-
linie eine Belastung, welche die Höhe des Gewölbes übersteigt.
*) Um die Stützlinie für das Kreisgewölbe A'' M'' D'' D' M' A' zu finden, sey A M S D dieFig.
10.
Mittellinie durch die Gewölbsteine. Da der Kreisbogen A M nicht die Eigenschaft hat, dass die
Tangenten der Stellungswinkel den darauf ruhenden Lasten proportional wären, so wollen wir anneh-
men, dass diese Eigenschaft der krummen Linie B N S zukomme, welche so beschaffen ist, dass sie
die Mittellinie A M D bei S, wo der Stellungswinkel 45 Grad beträgt, berührt, übrigens aber sowohl
aufwärts als abwärts die Eigenschaft besitzen muss, dass die Tangenten der Stellungswinkel N n i der
zu stützenden Last A' N' N'' A'' proportional sind.
Die zu stützende Fläche A' N' N'' A'' ist offenbar der Fläche A' M' M'' A'' gleich, weil die zwei
Dreiecke M M' N' und M M'' N'' einander gleich und ähnlich sind. Setzen wir die Höhe der Gewölb-
steine im Scheitel A' A'' = d und den Winkel A C M = v, den Halbmesser A C = a, so ist der
Bogen A M = a . v und die Fläche A' M' M'' A'' = d . a . v = der Fläche A' N' N'' A''. Eben so ist
die Fläche A' S' S'' A'' [Formel 1] . Weil die zu stützenden Flächen den Tangenten der Stellungs-
winkel an ihren Endpunkten proportional seyn müssen, so erhalten wir
A' S' S'' A'' : A' N' N'' A'' = tang 45° : tang N n i oder [Formel 2] , woraus
[Formel 3] n i ist.
Da für den Kreis M P = a . Sin v, folglich a . d v . Cos v = m o = n i und wenn wir Q N = z
setzen und N i = d z ist, so erhalten wir [Formel 4] Das Integral dieser Gleichung
gibt [Formel 5] . Setzen wir für den Punkt S in dieser Gleichung [Formel 6]
oder Sin v = Cos v = Sin 45 = Cos 45 = 0,707107, so erhalten wir
[Formel 7] und
hieraus [Formel 8] .
Hieraus ersehen wir, dass die Stützlinie des Kreisgewölbes um die Grösse B A oder
[Formel 9] hinauf steigt; soll demnach der Stützpunkt B sich noch innerhalb des Kreisge-
Gerstners Mechanik. Band I. 53
Stützlinie für das Kreisgewölbe.
§. 377.

Wir kommen nunmehr zur Untersuchung der Bedingnisse, unter welchen Ge-
wölbe ohne jene Belastung, die in den zwei vorhergehenden §. §.
berechnet wurde, sich zu erhalten im Stande sind, und wollen wieder
zuerst die Umstände aufsuchen, unter welchen ein freies Kreisgewölbe sich
selbst zu erhalten vermag. *)

zonte zu finden, müssen wir zu M N noch die Höhe [Formel 10] . Cos v = b . Cos vFig.
9.
Tab.
18.
addiren und erhalten demnach [Formel 11] Setzen wir wieder den Differenzialcoeffizienten
— [Formel 12] , so gibt diess, wie bei dem Kreisgewölbe für den einen Faktor
Sin v = 0, in der Mitte des Gewölbes die Höhe B C = b + h, und für den andern Faktor
— [Formel 13] , ist [Formel 14] , demnach die Höhe [Formel 15] .
Beispiel. Es sey b = ⅔ a und [Formel 16] wie vorher [Formel 17] , so ist Cos [Formel 18]
31Min., demnach kann für ein freies Tonnengewölbe der elyptische Bogen nur bis zu dem Winkel von
38½ Grad eine Stützlinie abgeben, und der weitere Bogen erfordert eben so wie bei der Kreis-
linie eine Belastung, welche die Höhe des Gewölbes übersteigt.
*) Um die Stützlinie für das Kreisgewölbe A'' M'' D'' D' M' A' zu finden, sey A M S D dieFig.
10.
Mittellinie durch die Gewölbsteine. Da der Kreisbogen A M nicht die Eigenschaft hat, dass die
Tangenten der Stellungswinkel den darauf ruhenden Lasten proportional wären, so wollen wir anneh-
men, dass diese Eigenschaft der krummen Linie B N S zukomme, welche so beschaffen ist, dass sie
die Mittellinie A M D bei S, wo der Stellungswinkel 45 Grad beträgt, berührt, übrigens aber sowohl
aufwärts als abwärts die Eigenschaft besitzen muss, dass die Tangenten der Stellungswinkel N n i der
zu stützenden Last A' N' N'' A'' proportional sind.
Die zu stützende Fläche A' N' N'' A'' ist offenbar der Fläche A' M' M'' A'' gleich, weil die zwei
Dreiecke M M' N' und M M'' N'' einander gleich und ähnlich sind. Setzen wir die Höhe der Gewölb-
steine im Scheitel A' A'' = δ und den Winkel A C M = v, den Halbmesser A C = a, so ist der
Bogen A M = a . v und die Fläche A' M' M'' A'' = δ . a . v = der Fläche A' N' N'' A''. Eben so ist
die Fläche A' S' S'' A'' [Formel 1] . Weil die zu stützenden Flächen den Tangenten der Stellungs-
winkel an ihren Endpunkten proportional seyn müssen, so erhalten wir
A' S' S'' A'' : A' N' N'' A'' = tang 45° : tang N n i oder [Formel 2] , woraus
[Formel 3] n i ist.
Da für den Kreis M P = a . Sin v, folglich a . d v . Cos v = m o = n i und wenn wir Q N = z
setzen und N i = d z ist, so erhalten wir [Formel 4] Das Integral dieser Gleichung
gibt [Formel 5] . Setzen wir für den Punkt S in dieser Gleichung [Formel 6]
oder Sin v = Cos v = Sin 45 = Cos 45 = 0,707107, so erhalten wir
[Formel 7] und
hieraus [Formel 8] .
Hieraus ersehen wir, dass die Stützlinie des Kreisgewölbes um die Grösse B A oder
[Formel 9] hinauf steigt; soll demnach der Stützpunkt B sich noch innerhalb des Kreisge-
Gerstners Mechanik. Band I. 53
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[417/0447] Stützlinie für das Kreisgewölbe. §. 377. Wir kommen nunmehr zur Untersuchung der Bedingnisse, unter welchen Ge- wölbe ohne jene Belastung, die in den zwei vorhergehenden §. §. berechnet wurde, sich zu erhalten im Stande sind, und wollen wieder zuerst die Umstände aufsuchen, unter welchen ein freies Kreisgewölbe sich selbst zu erhalten vermag. *) *) *) Um die Stützlinie für das Kreisgewölbe A'' M'' D'' D' M' A' zu finden, sey A M S D die Mittellinie durch die Gewölbsteine. Da der Kreisbogen A M nicht die Eigenschaft hat, dass die Tangenten der Stellungswinkel den darauf ruhenden Lasten proportional wären, so wollen wir anneh- men, dass diese Eigenschaft der krummen Linie B N S zukomme, welche so beschaffen ist, dass sie die Mittellinie A M D bei S, wo der Stellungswinkel 45 Grad beträgt, berührt, übrigens aber sowohl aufwärts als abwärts die Eigenschaft besitzen muss, dass die Tangenten der Stellungswinkel N n i der zu stützenden Last A' N' N'' A'' proportional sind. Die zu stützende Fläche A' N' N'' A'' ist offenbar der Fläche A' M' M'' A'' gleich, weil die zwei Dreiecke M M' N' und M M'' N'' einander gleich und ähnlich sind. Setzen wir die Höhe der Gewölb- steine im Scheitel A' A'' = δ und den Winkel A C M = v, den Halbmesser A C = a, so ist der Bogen A M = a . v und die Fläche A' M' M'' A'' = δ . a . v = der Fläche A' N' N'' A''. Eben so ist die Fläche A' S' S'' A'' [FORMEL]. Weil die zu stützenden Flächen den Tangenten der Stellungs- winkel an ihren Endpunkten proportional seyn müssen, so erhalten wir A' S' S'' A'' : A' N' N'' A'' = tang 45° : tang N n i oder [FORMEL], woraus [FORMEL] n i ist. Da für den Kreis M P = a . Sin v, folglich a . d v . Cos v = m o = n i und wenn wir Q N = z setzen und N i = d z ist, so erhalten wir [FORMEL] Das Integral dieser Gleichung gibt [FORMEL]. Setzen wir für den Punkt S in dieser Gleichung [FORMEL] oder Sin v = Cos v = Sin 45 = Cos 45 = 0,707107, so erhalten wir [FORMEL] und hieraus [FORMEL]. Hieraus ersehen wir, dass die Stützlinie des Kreisgewölbes um die Grösse B A oder [FORMEL] hinauf steigt; soll demnach der Stützpunkt B sich noch innerhalb des Kreisge- *) zonte zu finden, müssen wir zu M N noch die Höhe [FORMEL]. Cos v = b . Cos v addiren und erhalten demnach [FORMEL] Setzen wir wieder den Differenzialcoeffizienten — [FORMEL], so gibt diess, wie bei dem Kreisgewölbe für den einen Faktor Sin v = 0, in der Mitte des Gewölbes die Höhe B C = b + h, und für den andern Faktor — [FORMEL], ist [FORMEL], demnach die Höhe [FORMEL]. Beispiel. Es sey b = ⅔ a und [FORMEL] wie vorher [FORMEL], so ist Cos [FORMEL] 31Min., demnach kann für ein freies Tonnengewölbe der elyptische Bogen nur bis zu dem Winkel von 38½ Grad eine Stützlinie abgeben, und der weitere Bogen erfordert eben so wie bei der Kreis- linie eine Belastung, welche die Höhe des Gewölbes übersteigt. Gerstners Mechanik. Band I. 53

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 417. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/447>, abgerufen am 26.04.2024.