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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Festigkeit der Körper in Hinsicht auf Biegung.
die Würfel der Längen, und verkehrt den Produkten aus den Brei-
ten in die Würfel der Höhen proportional sind
, oder dass sich
[Formel 1] verhält.

§. 313.

Bei Versuchen über die Biegungen elastischer Stäbe oder Balken ist es bequemer,
so wie für den praktischen Gebrauch angemessener, die Balken an beiden Enden auf
Unterlagen zu legen, und sie in der Mitte mit Gewichten zu beschweren, statt sie bloss
an einem Ende zu befestigen, und an dem andern zu belasten. Setzen wir die Last
Fig.
23.
Tab.
15.
in der Mitte = G, so ist der Druck auf jede Unterlage [Formel 2] . Es ist demnach für
die eine Seite [Formel 3] . Wird hiezu die gleiche Proportion für die
andere Seite addirt, so erhalten wir [Formel 4] . Wenn wir aber un-
ter L die ganze Länge M N des Balkens oder die Entfernung zwischen den Auflagen ver-
stehen wollen, so müssen wir in der letzten Proportion zwar [Formel 5] statt L setzen, da es
sich jedoch hier nur um die Verhältnisse [Formel 6] handelt, so haben wir über-
haupt [Formel 7] , wo G und g die in der Mitte der Stäbe ange-
hängten Gewichte, U und u die Einsenkungen O H und o h, B und b die Breiten,
H und h die Höhen und L, l die Längen der Balken oder die Entfernungen zwischen
ihren Auflagspunkten vorstellen. Hieraus folgt nun auch [Formel 8] .
Aus dieser Proportion lässt sich die Biegung U eines Stabes von gegebenen Dimensionen,
welche durch das aufgelegte Gewicht G bewirkt wird, berechnen, wenn für einen
andern Stab von derselben Materie die zugehörigen Maasse b, h, l, g und u gege-
ben sind. *)

*) Zur bessern Aufklärung dieses Gegenstandes wollen wir aus der Theorie der elastischen Linien Fol-
gendes anführen:
Fig.
24.
Es sey A M N B die Mittellinie eines elastischen Stabes A' A'' B'' B', welcher an einem Ende
bei A' A'' unveränderlich festgehalten, und durch das am andern Ende B angehängte Gewicht p aus
der horizontalen Richtung A' E in die krumme Linie A' M' O' B' herabgebogen wird. Zur Be-
stimmung der krummen Mittellinie A M N B nehme man einen willkührlichen Theil M N derselben,
jedoch von einer solchen Grösse, dass die Linie M N und die dazu Parallelen m n und m' n' als ge-
rade Linien betrachtet, sonach das Element m n n' m' des Stabes hinsichtlich seiner Ausdehnung und
Elasticität mit einem andern geraden Stabe von derselben Materie verglichen und hiebei die §. 238
(IV) angeführte Proportion [Formel 9] angewendet werden könne.
Setzen wir zu dieser Absicht die Breite unseres Prisma = b, die Entfernung des Elementes
m n n' m' von der Mittellinie M N oder N n = x, n n' = d x, so ist die Querschnittsfläche dieses Ele-
mentes f = b . d x. Da der angenommene Theil M' M'' N' N'' durch die Biegung in die Lage

Festigkeit der Körper in Hinsicht auf Biegung.
die Würfel der Längen, und verkehrt den Produkten aus den Brei-
ten in die Würfel der Höhen proportional sind
, oder dass sich
[Formel 1] verhält.

§. 313.

Bei Versuchen über die Biegungen elastischer Stäbe oder Balken ist es bequemer,
so wie für den praktischen Gebrauch angemessener, die Balken an beiden Enden auf
Unterlagen zu legen, und sie in der Mitte mit Gewichten zu beschweren, statt sie bloss
an einem Ende zu befestigen, und an dem andern zu belasten. Setzen wir die Last
Fig.
23.
Tab.
15.
in der Mitte = G, so ist der Druck auf jede Unterlage [Formel 2] . Es ist demnach für
die eine Seite [Formel 3] . Wird hiezu die gleiche Proportion für die
andere Seite addirt, so erhalten wir [Formel 4] . Wenn wir aber un-
ter L die ganze Länge M N des Balkens oder die Entfernung zwischen den Auflagen ver-
stehen wollen, so müssen wir in der letzten Proportion zwar [Formel 5] statt L setzen, da es
sich jedoch hier nur um die Verhältnisse [Formel 6] handelt, so haben wir über-
haupt [Formel 7] , wo G und g die in der Mitte der Stäbe ange-
hängten Gewichte, U und u die Einsenkungen O H und o h, B und b die Breiten,
H und h die Höhen und L, l die Längen der Balken oder die Entfernungen zwischen
ihren Auflagspunkten vorstellen. Hieraus folgt nun auch [Formel 8] .
Aus dieser Proportion lässt sich die Biegung U eines Stabes von gegebenen Dimensionen,
welche durch das aufgelegte Gewicht G bewirkt wird, berechnen, wenn für einen
andern Stab von derselben Materie die zugehörigen Maasse b, h, l, g und u gege-
ben sind. *)

*) Zur bessern Aufklärung dieses Gegenstandes wollen wir aus der Theorie der elastischen Linien Fol-
gendes anführen:
Fig.
24.
Es sey A M N B die Mittellinie eines elastischen Stabes A' A'' B'' B', welcher an einem Ende
bei A' A'' unveränderlich festgehalten, und durch das am andern Ende B angehängte Gewicht p aus
der horizontalen Richtung A' E in die krumme Linie A' M' O' B' herabgebogen wird. Zur Be-
stimmung der krummen Mittellinie A M N B nehme man einen willkührlichen Theil M N derselben,
jedoch von einer solchen Grösse, dass die Linie M N und die dazu Parallelen m n und m' n' als ge-
rade Linien betrachtet, sonach das Element m n n' m' des Stabes hinsichtlich seiner Ausdehnung und
Elasticität mit einem andern geraden Stabe von derselben Materie verglichen und hiebei die §. 238
(IV) angeführte Proportion [Formel 9] angewendet werden könne.
Setzen wir zu dieser Absicht die Breite unseres Prisma = b, die Entfernung des Elementes
m n n' m' von der Mittellinie M N oder N n = x, n n' = d x, so ist die Querschnittsfläche dieses Ele-
mentes f = b . d x. Da der angenommene Theil M' M'' N' N'' durch die Biegung in die Lage
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[324/0354] Festigkeit der Körper in Hinsicht auf Biegung. die Würfel der Längen, und verkehrt den Produkten aus den Brei- ten in die Würfel der Höhen proportional sind, oder dass sich [FORMEL] verhält. §. 313. Bei Versuchen über die Biegungen elastischer Stäbe oder Balken ist es bequemer, so wie für den praktischen Gebrauch angemessener, die Balken an beiden Enden auf Unterlagen zu legen, und sie in der Mitte mit Gewichten zu beschweren, statt sie bloss an einem Ende zu befestigen, und an dem andern zu belasten. Setzen wir die Last in der Mitte = G, so ist der Druck auf jede Unterlage [FORMEL]. Es ist demnach für die eine Seite [FORMEL]. Wird hiezu die gleiche Proportion für die andere Seite addirt, so erhalten wir [FORMEL]. Wenn wir aber un- ter L die ganze Länge M N des Balkens oder die Entfernung zwischen den Auflagen ver- stehen wollen, so müssen wir in der letzten Proportion zwar [FORMEL] statt L setzen, da es sich jedoch hier nur um die Verhältnisse [FORMEL] handelt, so haben wir über- haupt [FORMEL], wo G und g die in der Mitte der Stäbe ange- hängten Gewichte, U und u die Einsenkungen O H und o h, B und b die Breiten, H und h die Höhen und L, l die Längen der Balken oder die Entfernungen zwischen ihren Auflagspunkten vorstellen. Hieraus folgt nun auch [FORMEL]. Aus dieser Proportion lässt sich die Biegung U eines Stabes von gegebenen Dimensionen, welche durch das aufgelegte Gewicht G bewirkt wird, berechnen, wenn für einen andern Stab von derselben Materie die zugehörigen Maasse b, h, l, g und u gege- ben sind. *) Fig. 23. Tab. 15. *) Zur bessern Aufklärung dieses Gegenstandes wollen wir aus der Theorie der elastischen Linien Fol- gendes anführen: Es sey A M N B die Mittellinie eines elastischen Stabes A' A'' B'' B', welcher an einem Ende bei A' A'' unveränderlich festgehalten, und durch das am andern Ende B angehängte Gewicht p aus der horizontalen Richtung A' E in die krumme Linie A' M' O' B' herabgebogen wird. Zur Be- stimmung der krummen Mittellinie A M N B nehme man einen willkührlichen Theil M N derselben, jedoch von einer solchen Grösse, dass die Linie M N und die dazu Parallelen m n und m' n' als ge- rade Linien betrachtet, sonach das Element m n n' m' des Stabes hinsichtlich seiner Ausdehnung und Elasticität mit einem andern geraden Stabe von derselben Materie verglichen und hiebei die §. 238 (IV) angeführte Proportion [FORMEL] angewendet werden könne. Setzen wir zu dieser Absicht die Breite unseres Prisma = b, die Entfernung des Elementes m n n' m' von der Mittellinie M N oder N n = x, n n' = d x, so ist die Querschnittsfläche dieses Ele- mentes f = b . d x. Da der angenommene Theil M' M'' N' N'' durch die Biegung in die Lage

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 324. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/354>, abgerufen am 19.07.2019.