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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Arbeit eines Wasserrades.
tet von selbst ein, obgleich dieselbe in den bisherigen hydraulischen Schriften und
Versuchen noch nicht berücksichtigt wurde.

§. 262.

Da wir nun gefunden haben, dass rücksichtlich des durch die Kreisbewe-
gung der Schaufeln erfolgenden Ein- und Austrittes aus dem Wasser nur die Was-
sermenge [Formel 1] an die Schaufeln stossen kann, so ergibt sich
der wirkliche Stoss oder Druck des Wassers [Formel 2] .
Fig.
6.
Tab.
56.
Wir wollen nun die Grösse der Arbeit untersuchen, welche in einer bestimmten Zeit
von dieser Kraft K bewirkt werden kann. Um diess mit der nöthigen Deutlichkeit zu thun,
wollen wir annehmen, dass eine Last Q mittelst eines über eine feste Rolle gehenden
Seiles auf eine gegebene Höhe H aufgezogen werden solle. Der Halbmesser der Welle
sey = r, der Halbmesser des Wasserrades von der Mitte der Welle bis zur Mitte der
Schaufeln = R, so ist nach den bekannten Gesetzen der Statik
[Formel 3] R. Aus der Geschwindigkeit der Rad-
schaufeln v ergibt sich die Geschwindigkeit, mit welcher das Seil auf die Welle aufge-
wunden, und die Last gehoben wird [Formel 4] ; mithin ist die Zeit eines Aufzuges [Formel 5] .

Daraus folgt die Anzahl der Aufzüge z. B. in einer Stunde oder 3600 Secunden, wenn
nämlich die Wasserkraft ununterbrochen und nur allein zur Hebung der Last verwendet
wird, [Formel 6] . Wird nun diese Anzahl Aufzüge mit der jedesmal aufgezogenen
Last Q multiplizirt, so ist der Effekt [Formel 7] und wenn wir an die Stelle
von Q seinen Werth setzen, so ist der Effekt
[Formel 8] , wo abermals die Verhältnisse der
Hebelsarme aus der Rechnung entfallen, so wie wir es bereits bei der Anwendung der
thierischen Kräfte gefunden haben.

Diese Gleichung für den Effekt zeigt uns, dass derselbe von dem Produkte der
3 Faktoren [Formel 9] v abhängt, wovon der erste durch die Grösse
der anstossenden Wassermenge, der zweite durch den Druck des Wassers an die Radschau-
feln und der dritte von der Geschwindigkeit dieser Radschaufeln bestimmt wird. Soll
demnach die Wirkung des Wassers zur Betreibung von Maschinen die möglichst grösste
seyn, so muss dieses Produkt zu einem Maximum gemacht werden *).

*) Um dieses zu erhalten, wollen wir den log. (c . v -- v2) + log. [Formel 10] nach der
bekannten Differenzialmethode zu einem Maximum machen. Dazu erhalten wir die Gleichung
[Formel 11] ; daraus findet man [Formel 12] .
Daraus sieht man, dass bei einer hinlänglichen Anzahl von Schaufeln [Formel 13] sehr nahe = 1/2 seyn müsse.
Setzen wir nun [Formel 14] = 1/2 -- m, so ist m eine sehr kleine Zahl, welche aus der Gleichung
m + 4 m2 + 4 m3 = [Formel 15] bestimmt wird.

Arbeit eines Wasserrades.
tet von selbst ein, obgleich dieselbe in den bisherigen hydraulischen Schriften und
Versuchen noch nicht berücksichtigt wurde.

§. 262.

Da wir nun gefunden haben, dass rücksichtlich des durch die Kreisbewe-
gung der Schaufeln erfolgenden Ein- und Austrittes aus dem Wasser nur die Was-
sermenge [Formel 1] an die Schaufeln stossen kann, so ergibt sich
der wirkliche Stoss oder Druck des Wassers [Formel 2] .
Fig.
6.
Tab.
56.
Wir wollen nun die Grösse der Arbeit untersuchen, welche in einer bestimmten Zeit
von dieser Kraft K bewirkt werden kann. Um diess mit der nöthigen Deutlichkeit zu thun,
wollen wir annehmen, dass eine Last Q mittelst eines über eine feste Rolle gehenden
Seiles auf eine gegebene Höhe H aufgezogen werden solle. Der Halbmesser der Welle
sey = r, der Halbmesser des Wasserrades von der Mitte der Welle bis zur Mitte der
Schaufeln = R, so ist nach den bekannten Gesetzen der Statik
[Formel 3] R. Aus der Geschwindigkeit der Rad-
schaufeln v ergibt sich die Geschwindigkeit, mit welcher das Seil auf die Welle aufge-
wunden, und die Last gehoben wird [Formel 4] ; mithin ist die Zeit eines Aufzuges [Formel 5] .

Daraus folgt die Anzahl der Aufzüge z. B. in einer Stunde oder 3600 Secunden, wenn
nämlich die Wasserkraft ununterbrochen und nur allein zur Hebung der Last verwendet
wird, [Formel 6] . Wird nun diese Anzahl Aufzüge mit der jedesmal aufgezogenen
Last Q multiplizirt, so ist der Effekt [Formel 7] und wenn wir an die Stelle
von Q seinen Werth setzen, so ist der Effekt
[Formel 8] , wo abermals die Verhältnisse der
Hebelsarme aus der Rechnung entfallen, so wie wir es bereits bei der Anwendung der
thierischen Kräfte gefunden haben.

Diese Gleichung für den Effekt zeigt uns, dass derselbe von dem Produkte der
3 Faktoren [Formel 9] v abhängt, wovon der erste durch die Grösse
der anstossenden Wassermenge, der zweite durch den Druck des Wassers an die Radschau-
feln und der dritte von der Geschwindigkeit dieser Radschaufeln bestimmt wird. Soll
demnach die Wirkung des Wassers zur Betreibung von Maschinen die möglichst grösste
seyn, so muss dieses Produkt zu einem Maximum gemacht werden *).

*) Um dieses zu erhalten, wollen wir den log. (c . v — v2) + log. [Formel 10] nach der
bekannten Differenzialmethode zu einem Maximum machen. Dazu erhalten wir die Gleichung
[Formel 11] ; daraus findet man [Formel 12] .
Daraus sieht man, dass bei einer hinlänglichen Anzahl von Schaufeln [Formel 13] sehr nahe = ½ seyn müsse.
Setzen wir nun [Formel 14] = ½ — m, so ist m eine sehr kleine Zahl, welche aus der Gleichung
m + 4 m2 + 4 m3 = [Formel 15] bestimmt wird.
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[352/0370] Arbeit eines Wasserrades. tet von selbst ein, obgleich dieselbe in den bisherigen hydraulischen Schriften und Versuchen noch nicht berücksichtigt wurde. §. 262. Da wir nun gefunden haben, dass rücksichtlich des durch die Kreisbewe- gung der Schaufeln erfolgenden Ein- und Austrittes aus dem Wasser nur die Was- sermenge [FORMEL] an die Schaufeln stossen kann, so ergibt sich der wirkliche Stoss oder Druck des Wassers [FORMEL]. Wir wollen nun die Grösse der Arbeit untersuchen, welche in einer bestimmten Zeit von dieser Kraft K bewirkt werden kann. Um diess mit der nöthigen Deutlichkeit zu thun, wollen wir annehmen, dass eine Last Q mittelst eines über eine feste Rolle gehenden Seiles auf eine gegebene Höhe H aufgezogen werden solle. Der Halbmesser der Welle sey = r, der Halbmesser des Wasserrades von der Mitte der Welle bis zur Mitte der Schaufeln = R, so ist nach den bekannten Gesetzen der Statik [FORMEL] R. Aus der Geschwindigkeit der Rad- schaufeln v ergibt sich die Geschwindigkeit, mit welcher das Seil auf die Welle aufge- wunden, und die Last gehoben wird [FORMEL]; mithin ist die Zeit eines Aufzuges [FORMEL]. Fig. 6. Tab. 56. Daraus folgt die Anzahl der Aufzüge z. B. in einer Stunde oder 3600 Secunden, wenn nämlich die Wasserkraft ununterbrochen und nur allein zur Hebung der Last verwendet wird, [FORMEL]. Wird nun diese Anzahl Aufzüge mit der jedesmal aufgezogenen Last Q multiplizirt, so ist der Effekt [FORMEL] und wenn wir an die Stelle von Q seinen Werth setzen, so ist der Effekt [FORMEL], wo abermals die Verhältnisse der Hebelsarme aus der Rechnung entfallen, so wie wir es bereits bei der Anwendung der thierischen Kräfte gefunden haben. Diese Gleichung für den Effekt zeigt uns, dass derselbe von dem Produkte der 3 Faktoren [FORMEL] v abhängt, wovon der erste durch die Grösse der anstossenden Wassermenge, der zweite durch den Druck des Wassers an die Radschau- feln und der dritte von der Geschwindigkeit dieser Radschaufeln bestimmt wird. Soll demnach die Wirkung des Wassers zur Betreibung von Maschinen die möglichst grösste seyn, so muss dieses Produkt zu einem Maximum gemacht werden *). *) Um dieses zu erhalten, wollen wir den log. (c . v — v2) + log. [FORMEL] nach der bekannten Differenzialmethode zu einem Maximum machen. Dazu erhalten wir die Gleichung [FORMEL]; daraus findet man [FORMEL]. Daraus sieht man, dass bei einer hinlänglichen Anzahl von Schaufeln [FORMEL] sehr nahe = ½ seyn müsse. Setzen wir nun [FORMEL] = ½ — m, so ist m eine sehr kleine Zahl, welche aus der Gleichung m + 4 m2 + 4 m3 = [FORMEL] bestimmt wird.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 352. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/370>, abgerufen am 23.07.2019.