so genügen der Gleichung die für o zu setzenden Werthe el0t; el't; el"t; aber auch der Werth
[Formel 1]
indem aus der Natur der aufgegebenen Gleichung klar ist, dass, Falls die aus den drey Bedeutungen von l ent- springenden Werthe o=P, o=Q, o=R, einzeln ge- nommen, derselben angemessen sind, dann auch gesetzt werden könne
[Formel 2]
Es entsteht nämlich alsdann eine Summe dreyer Glei- chungen, deren jede für sich, daher auch ihre Summe =0 ist.
So entspringt hier aus dreyen particulären Integralen das vollständige; zu erkennen an den drey willkührlichen Constanten, deren gerade so viele zu einer Differential- Gleichung des dritten Grades gehören.
Hat die cubische Gleichung für l zwey unmögliche Wurzeln, so muss die Form der daraus entspringenden Glieder um etwas abgeändert werden. Es sey
[Formel 3]
und folglich
[Formel 4]
so ist
[Formel 5]
.
Es ist
[Formel 6]
und
[Formel 7]
Die Constanten B und C sind noch unbestimmt. Man nehme an, es sey
[Formel 8]
[Formel 9]
; so ist B+C=B';
[Formel 10]
; und
[Formel 11]
Man kann die neuen Constanten abermals verändern. Es sey B' = B" sin. ph, C'=B" cos. ph, so folgt:
[Formel 12]
demnach
[Formel 13]
Die Constanten A, B", ph, müssen aus o,
[Formel 14]
für t=0 bestimmt werden. Alsdann nämlich ist aus der gegebenen Gleichung
[Formel 15]
so genügen der Gleichung die für ω zu setzenden Werthe eλ0t; eλ't; eλ″t; aber auch der Werth
[Formel 1]
indem aus der Natur der aufgegebenen Gleichung klar ist, daſs, Falls die aus den drey Bedeutungen von λ ent- springenden Werthe ω=P, ω=Q, ω=R, einzeln ge- nommen, derselben angemessen sind, dann auch gesetzt werden könne
[Formel 2]
Es entsteht nämlich alsdann eine Summe dreyer Glei- chungen, deren jede für sich, daher auch ihre Summe =0 ist.
So entspringt hier aus dreyen particulären Integralen das vollständige; zu erkennen an den drey willkührlichen Constanten, deren gerade so viele zu einer Differential- Gleichung des dritten Grades gehören.
Hat die cubische Gleichung für λ zwey unmögliche Wurzeln, so muſs die Form der daraus entspringenden Glieder um etwas abgeändert werden. Es sey
[Formel 3]
und folglich
[Formel 4]
so ist
[Formel 5]
.
Es ist
[Formel 6]
und
[Formel 7]
Die Constanten B und C sind noch unbestimmt. Man nehme an, es sey
[Formel 8]
[Formel 9]
; so ist B+C=B';
[Formel 10]
; und
[Formel 11]
Man kann die neuen Constanten abermals verändern. Es sey B' = B″ sin. φ, C'=B″ cos. φ, so folgt:
[Formel 12]
demnach
[Formel 13]
Die Constanten A, B″, φ, müssen aus ω,
[Formel 14]
für t=0 bestimmt werden. Alsdann nämlich ist aus der gegebenen Gleichung
[Formel 15]
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[310/0330]
so genügen der Gleichung die für ω zu setzenden
Werthe eλ0t; eλ't; eλ″t; aber auch der Werth
[FORMEL]
indem aus der Natur der aufgegebenen Gleichung klar
ist, daſs, Falls die aus den drey Bedeutungen von λ ent-
springenden Werthe ω=P, ω=Q, ω=R, einzeln ge-
nommen, derselben angemessen sind, dann auch gesetzt
werden könne
[FORMEL]
Es entsteht nämlich alsdann eine Summe dreyer Glei-
chungen, deren jede für sich, daher auch ihre Summe =0 ist.
So entspringt hier aus dreyen particulären Integralen
das vollständige; zu erkennen an den drey willkührlichen
Constanten, deren gerade so viele zu einer Differential-
Gleichung des dritten Grades gehören.
Hat die cubische Gleichung für λ zwey unmögliche
Wurzeln, so muſs die Form der daraus entspringenden
Glieder um etwas abgeändert werden. Es sey
[FORMEL] und folglich [FORMEL] so ist
[FORMEL].
Es ist [FORMEL]
und [FORMEL]
Die Constanten B und C sind noch unbestimmt.
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[FORMEL]; so ist B+C=B'; [FORMEL]; und
[FORMEL]
Man kann die neuen Constanten abermals verändern.
Es sey B' = B″ sin. φ, C'=B″ cos. φ, so folgt:
[FORMEL] demnach [FORMEL]
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Herbart, Johann Friedrich: Psychologie als Wissenschaft. Bd. 1. Königsberg, 1824, S. 310. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/herbart_psychologie01_1824/330>, abgerufen am 26.04.2024.
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