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Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.

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D. Hilbert,
Problem hinweisen, welches wohl bereits Riemann im Sinne ge-
habt hat, und welches darin besteht, zu zeigen, daß es stets eine
lineare Differentialgleichung der Fuchsschen Klasse mit gegebenen
singulären Stellen und einer gegebenen Monodromiegruppe giebt
. Die
Aufgabe verlangt also die Auffindung von n Functionen der Va-
riabeln z, die sich überall in der complexen z-Ebene regulär ver-
halten, außer etwa in den gegebenen singulären Stellen: in diesen
dürfen sie nur von endlich hoher Ordnung unendlich werden und
beim Umlauf der Variabeln z um dieselben erfahren sie die gege-
benen linearen Substitutionen. Die Existenz solcher Differen-
tialgleichungen ist durch Constantenzählung wahrscheinlich gemacht
worden, doch gelang der strenge Beweis bisher nur in dem be-
sonderen Falle, wo die Wurzeln der Fundamentalgleichungen der
gegebenen Substitutionen sämtlich vom absoluten Betrage 1 sind.
Diesen Beweis hat L. Schlesinger1) auf Grund der Poin-
careschen
Theorie der Fuchsschen z-Functionen erbracht.
Es würde offenbar die Theorie der linearen Differentialgleichungen
ein wesentlich abgeschlosseneres Bild zeigen, wenn die allgemeine
Erledigung des bezeichneten Problems gelänge.

22. Uniformisirung analytischer Beziehungen mittelst automorpher Functionen.

Wie Poincare zuerst bewiesen hat, gelingt die Uniformi-
sirung einer beliebigen algebraischen Beziehung zwischen zwei
Variabeln stets durch automorphe Functionen einer Variabeln;
d. h. wenn eine beliebige algebraische Gleichung zwischen zwei
Variabeln vorgelegt ist, so lassen sich für dieselben stets solche
eindeutigen automorphen Functionen einer Variabeln finden, nach
deren Einsetzung die algebraische Gleichung identisch in dieser
Variabeln erfüllt ist. Die Verallgemeinerung dieses fundamen-
talen Satzes auf nicht algebraische, sondern beliebige analytische
Beziehungen zwischen zwei Variabeln hat Poincare2) ebenfalls
mit Erfolg in Angriff genommen und zwar auf einem völlig an-
deren Wege als derjenige war, der ihn bei dem anfangs genannten
speciellen Probleme zum Ziele führte. Aus Poincares Beweis
für die Möglichkeit der Uniformisirung einer beliebigen analy-
tischen Beziehung zwischen zwei Variabeln geht jedoch noch nicht
hervor, ob es möglich ist, die eindeutigen Functionen der neuen
Variabeln so zu wählen, daß, während diese Variabele das re-

1) Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Bd. 2, Teil 2
No. 366.
2) Bulletin de la Societe Mathematique de France XI. 1883.

D. Hilbert,
Problem hinweisen, welches wohl bereits Riemann im Sinne ge-
habt hat, und welches darin besteht, zu zeigen, daß es stets eine
lineare Differentialgleichung der Fuchsschen Klasse mit gegebenen
singulären Stellen und einer gegebenen Monodromiegruppe giebt
. Die
Aufgabe verlangt also die Auffindung von n Functionen der Va-
riabeln z, die sich überall in der complexen z-Ebene regulär ver-
halten, außer etwa in den gegebenen singulären Stellen: in diesen
dürfen sie nur von endlich hoher Ordnung unendlich werden und
beim Umlauf der Variabeln z um dieselben erfahren sie die gege-
benen linearen Substitutionen. Die Existenz solcher Differen-
tialgleichungen ist durch Constantenzählung wahrscheinlich gemacht
worden, doch gelang der strenge Beweis bisher nur in dem be-
sonderen Falle, wo die Wurzeln der Fundamentalgleichungen der
gegebenen Substitutionen sämtlich vom absoluten Betrage 1 sind.
Diesen Beweis hat L. Schlesinger1) auf Grund der Poin-
caréschen
Theorie der Fuchsschen ζ-Functionen erbracht.
Es würde offenbar die Theorie der linearen Differentialgleichungen
ein wesentlich abgeschlosseneres Bild zeigen, wenn die allgemeine
Erledigung des bezeichneten Problems gelänge.

22. Uniformisirung analytischer Beziehungen mittelst automorpher Functionen.

Wie Poincaré zuerst bewiesen hat, gelingt die Uniformi-
sirung einer beliebigen algebraischen Beziehung zwischen zwei
Variabeln stets durch automorphe Functionen einer Variabeln;
d. h. wenn eine beliebige algebraische Gleichung zwischen zwei
Variabeln vorgelegt ist, so lassen sich für dieselben stets solche
eindeutigen automorphen Functionen einer Variabeln finden, nach
deren Einsetzung die algebraische Gleichung identisch in dieser
Variabeln erfüllt ist. Die Verallgemeinerung dieses fundamen-
talen Satzes auf nicht algebraische, sondern beliebige analytische
Beziehungen zwischen zwei Variabeln hat Poincaré2) ebenfalls
mit Erfolg in Angriff genommen und zwar auf einem völlig an-
deren Wege als derjenige war, der ihn bei dem anfangs genannten
speciellen Probleme zum Ziele führte. Aus Poincarés Beweis
für die Möglichkeit der Uniformisirung einer beliebigen analy-
tischen Beziehung zwischen zwei Variabeln geht jedoch noch nicht
hervor, ob es möglich ist, die eindeutigen Functionen der neuen
Variabeln so zu wählen, daß, während diese Variabele das re-

1) Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Bd. 2, Teil 2
No. 366.
2) Bulletin de la Société Mathématique de France XI. 1883.
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[290/0046] D. Hilbert, Problem hinweisen, welches wohl bereits Riemann im Sinne ge- habt hat, und welches darin besteht, zu zeigen, daß es stets eine lineare Differentialgleichung der Fuchsschen Klasse mit gegebenen singulären Stellen und einer gegebenen Monodromiegruppe giebt. Die Aufgabe verlangt also die Auffindung von n Functionen der Va- riabeln z, die sich überall in der complexen z-Ebene regulär ver- halten, außer etwa in den gegebenen singulären Stellen: in diesen dürfen sie nur von endlich hoher Ordnung unendlich werden und beim Umlauf der Variabeln z um dieselben erfahren sie die gege- benen linearen Substitutionen. Die Existenz solcher Differen- tialgleichungen ist durch Constantenzählung wahrscheinlich gemacht worden, doch gelang der strenge Beweis bisher nur in dem be- sonderen Falle, wo die Wurzeln der Fundamentalgleichungen der gegebenen Substitutionen sämtlich vom absoluten Betrage 1 sind. Diesen Beweis hat L. Schlesinger 1) auf Grund der Poin- caréschen Theorie der Fuchsschen ζ-Functionen erbracht. Es würde offenbar die Theorie der linearen Differentialgleichungen ein wesentlich abgeschlosseneres Bild zeigen, wenn die allgemeine Erledigung des bezeichneten Problems gelänge. 22. Uniformisirung analytischer Beziehungen mittelst automorpher Functionen. Wie Poincaré zuerst bewiesen hat, gelingt die Uniformi- sirung einer beliebigen algebraischen Beziehung zwischen zwei Variabeln stets durch automorphe Functionen einer Variabeln; d. h. wenn eine beliebige algebraische Gleichung zwischen zwei Variabeln vorgelegt ist, so lassen sich für dieselben stets solche eindeutigen automorphen Functionen einer Variabeln finden, nach deren Einsetzung die algebraische Gleichung identisch in dieser Variabeln erfüllt ist. Die Verallgemeinerung dieses fundamen- talen Satzes auf nicht algebraische, sondern beliebige analytische Beziehungen zwischen zwei Variabeln hat Poincaré 2) ebenfalls mit Erfolg in Angriff genommen und zwar auf einem völlig an- deren Wege als derjenige war, der ihn bei dem anfangs genannten speciellen Probleme zum Ziele führte. Aus Poincarés Beweis für die Möglichkeit der Uniformisirung einer beliebigen analy- tischen Beziehung zwischen zwei Variabeln geht jedoch noch nicht hervor, ob es möglich ist, die eindeutigen Functionen der neuen Variabeln so zu wählen, daß, während diese Variabele das re- 1) Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Bd. 2, Teil 2 No. 366. 2) Bulletin de la Société Mathématique de France XI. 1883.

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Zitationshilfe: Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900, S. 290. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/hilbert_mathematische_1900/46>, abgerufen am 26.03.2019.