Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

$\begin{gather*} \tag{1} X = (R - \varrho\cos\alpha) \cos\varphi,\quad Y = (R - \varrho\cos\alpha) \sin\varphi,\\ Z = \varrho\sin\alpha. \end{gather*}$

Daher wird das Bogenelement:

$\tag{2} ds = \sqrt{dX^2 + dY^2 + dZ^2} = \sqrt{(R - \varrho\cos\alpha)^2\cdot d\varphi^2 + \varrho^2\cdot d\alpha^2}$
oder:
$\tag{3} ds = (R - \varrho\cos\alpha)^2\cdot \sqrt{d\xi^2 + d\eta^2},$
wo
$\tag{4} \xi = \varphi,\quad \eta = \int_0^\alpha \frac{\varrho\, d\alpha} {R - \varrho\cos\alpha}$
gesetzt sein soll.

Nach Formel (3) haben wir eine conforme Abbildung der Ringfläche auf die $\xi\eta$-Ebene. Die ganze Ringfläche wird offenbar einmal überstrichen, wenn $\varphi$ und $\alpha$ (in den Formeln (1)) jedes von $- \pi$ bis $+ \pi$ läuft. Die conforme Abbildung der Ringfläche überdeckt daher ein Rechteck der Ebene, wie es durch folgende Figur vorgestellt wird:

Fig. 35.

Ich habe dabei in der Figur der Kürze halber statt $\displaystyle\int_0^\pi\frac{\varrho\, d\alpha}{R - \varrho\cos\alpha}$ einfach p geschrieben. — Wollen wir uns die Beziehung zwischen Rechteck und Ringfläche recht anschaulich vorstellen, so denke man sich ersteres aus dehnsamem Materiale verfertigt und nun die gegenüberstehenden Kanten des Rechtecks ohne Torsion zusammengebogen. Oder auch, man denke sich den Ring von analoger Beschaffenheit, zerschneide