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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 23. Die inversen Operationen des Kalkuls.
einfachungen, wie sie letztere Disziplin noch obendrein durch die Ein-
führung der "negativen" Zahlen für den ganzen Komplex ihrer ein-
schlägigen Sätze erzielt hat, wären hier nicht anzubringen. Die Sätze
würden hier, zumal bei ihrer nicht unerheblichen wol kaum verminder-
baren Anzahl, auch schwer zu behalten sein und müssten jedesmal
bei der Anwendung samt ihren Gültigkeitsbedingungen nachgeschlagen
werden -- gewiss eine höchst unerquickliche Zumutung! Und
anderes mehr.

Es ist darum nur zu beglückwünschen, dass durch das Studium
einzig ihres gemeinsamen Spezialfalles, der Negation, die weitere An-
wendung der inversen Operationen des Kalkuls entbehrlich und über-
flüssig geworden.

Der Studirende möge deshalb auch einen Ausdruck wie "die a
ohne die b
", "die a mit Ausnahme der b" künftighin nicht mit a -- a b
resp. a -- b sondern nur mit a b1 in die Zeichensprache übertragen. In
der That ist der Ausdruck mit: "die a, welche nicht b sind" augen-
scheinlich äquivalent. --

Zum Schlusse sei noch erwähnt, dass die Darstellung e) des
Generalwerts der Differenz sich auch unter dem Gesichtspunkt des
Th. 44+) Zusatz 1 für die Entwickelung einer Funktion f (a, b) = a ÷ b
nach ihren Argumenten darstellen, nachträglich ableiten lässt. Nach
diesem Satze nämlich müssten wir haben:
a1) a ÷ b = (1 ÷ 1) a b + (1 ÷ 0) a b1 + (0 ÷ 1) a1 b + (0 ÷ 0) a1 b1.
Nun ist der Koeffizient 0 ÷ 1 sinnlos -- vergl. das unter s) Gesagte.
Damit der sinnlose Term aus dem Ausdruck fortfalle, wird der zu-
gehörige Konstituent a1 b = 0 sein müssen, was uns die Valenz-
bedingung liefert.

Nach den unter l) angegebenen Spezialwerten (die auch durch ge-
sonderte Überlegungen hätten unabhängig ermittelt werden können) sind:
1 ÷ 1 = u, 1 ÷ 0 = 1 und 0 ÷ 0 = 0
für die übrigen Koeffizienten einzusetzen und ergibt sich:
a ÷ b = u a b + a b1
in Übereinstimmung mit e).

Analog dual entsprechend für den Generalwert des Quotienten.

Das Theorem 44+) nebst Korollaren wird in dieser Weise auch
für die unter Konkurrenz inverser Operationen aufgebauten Funktions-
ausdrücke gültig bleiben, wenn man es durch die Zusatzbemerkung
ergänzt, dass diejenigen Konstituenten, deren Koeffizienten undeutig aus-

§ 23. Die inversen Operationen des Kalkuls.
einfachungen, wie sie letztere Disziplin noch obendrein durch die Ein-
führung der „negativen“ Zahlen für den ganzen Komplex ihrer ein-
schlägigen Sätze erzielt hat, wären hier nicht anzubringen. Die Sätze
würden hier, zumal bei ihrer nicht unerheblichen wol kaum verminder-
baren Anzahl, auch schwer zu behalten sein und müssten jedesmal
bei der Anwendung samt ihren Gültigkeitsbedingungen nachgeschlagen
werden — gewiss eine höchst unerquickliche Zumutung! Und
anderes mehr.

Es ist darum nur zu beglückwünschen, dass durch das Studium
einzig ihres gemeinsamen Spezialfalles, der Negation, die weitere An-
wendung der inversen Operationen des Kalkuls entbehrlich und über-
flüssig geworden.

Der Studirende möge deshalb auch einen Ausdruck wie „die a
ohne die b
“, „die a mit Ausnahme der b“ künftighin nicht mit aa b
resp. ab sondern nur mit a b1 in die Zeichensprache übertragen. In
der That ist der Ausdruck mit: „die a, welche nicht b sind“ augen-
scheinlich äquivalent. —

Zum Schlusse sei noch erwähnt, dass die Darstellung η) des
Generalwerts der Differenz sich auch unter dem Gesichtspunkt des
Th. 44+) Zusatz 1 für die Entwickelung einer Funktion f (a, b) = a ÷ b
nach ihren Argumenten darstellen, nachträglich ableiten lässt. Nach
diesem Satze nämlich müssten wir haben:
α1) a ÷ b = (1 ÷ 1) a b + (1 ÷ 0) a b1 + (0 ÷ 1) a1 b + (0 ÷ 0) a1 b1.
Nun ist der Koeffizient 0 ÷ 1 sinnlos — vergl. das unter σ) Gesagte.
Damit der sinnlose Term aus dem Ausdruck fortfalle, wird der zu-
gehörige Konstituent a1 b = 0 sein müssen, was uns die Valenz-
bedingung liefert.

Nach den unter λ) angegebenen Spezialwerten (die auch durch ge-
sonderte Überlegungen hätten unabhängig ermittelt werden können) sind:
1 ÷ 1 = u, 1 ÷ 0 = 1 und 0 ÷ 0 = 0
für die übrigen Koeffizienten einzusetzen und ergibt sich:
a ÷ b = u a b + a b1
in Übereinstimmung mit η).

Analog dual entsprechend für den Generalwert des Quotienten.

Das Theorem 44+) nebst Korollaren wird in dieser Weise auch
für die unter Konkurrenz inverser Operationen aufgebauten Funktions-
ausdrücke gültig bleiben, wenn man es durch die Zusatzbemerkung
ergänzt, dass diejenigen Konstituenten, deren Koeffizienten undeutig aus-

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[495/0515] § 23. Die inversen Operationen des Kalkuls. einfachungen, wie sie letztere Disziplin noch obendrein durch die Ein- führung der „negativen“ Zahlen für den ganzen Komplex ihrer ein- schlägigen Sätze erzielt hat, wären hier nicht anzubringen. Die Sätze würden hier, zumal bei ihrer nicht unerheblichen wol kaum verminder- baren Anzahl, auch schwer zu behalten sein und müssten jedesmal bei der Anwendung samt ihren Gültigkeitsbedingungen nachgeschlagen werden — gewiss eine höchst unerquickliche Zumutung! Und anderes mehr. Es ist darum nur zu beglückwünschen, dass durch das Studium einzig ihres gemeinsamen Spezialfalles, der Negation, die weitere An- wendung der inversen Operationen des Kalkuls entbehrlich und über- flüssig geworden. Der Studirende möge deshalb auch einen Ausdruck wie „die a ohne die b“, „die a mit Ausnahme der b“ künftighin nicht mit a — a b resp. a — b sondern nur mit a b1 in die Zeichensprache übertragen. In der That ist der Ausdruck mit: „die a, welche nicht b sind“ augen- scheinlich äquivalent. — Zum Schlusse sei noch erwähnt, dass die Darstellung η) des Generalwerts der Differenz sich auch unter dem Gesichtspunkt des Th. 44+) Zusatz 1 für die Entwickelung einer Funktion f (a, b) = a ÷ b nach ihren Argumenten darstellen, nachträglich ableiten lässt. Nach diesem Satze nämlich müssten wir haben: α1) a ÷ b = (1 ÷ 1) a b + (1 ÷ 0) a b1 + (0 ÷ 1) a1 b + (0 ÷ 0) a1 b1. Nun ist der Koeffizient 0 ÷ 1 sinnlos — vergl. das unter σ) Gesagte. Damit der sinnlose Term aus dem Ausdruck fortfalle, wird der zu- gehörige Konstituent a1 b = 0 sein müssen, was uns die Valenz- bedingung liefert. Nach den unter λ) angegebenen Spezialwerten (die auch durch ge- sonderte Überlegungen hätten unabhängig ermittelt werden können) sind: 1 ÷ 1 = u, 1 ÷ 0 = 1 und 0 ÷ 0 = 0 für die übrigen Koeffizienten einzusetzen und ergibt sich: a ÷ b = u a b + a b1 in Übereinstimmung mit η). Analog dual entsprechend für den Generalwert des Quotienten. Das Theorem 44+) nebst Korollaren wird in dieser Weise auch für die unter Konkurrenz inverser Operationen aufgebauten Funktions- ausdrücke gültig bleiben, wenn man es durch die Zusatzbemerkung ergänzt, dass diejenigen Konstituenten, deren Koeffizienten undeutig aus-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 495. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/515>, abgerufen am 10.04.2020.