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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Anhang 5.
eintritt, kommt übrigens auch zuweilen vor, und geben wir dazu noch
folgenden vorletzten

"Beleg 6". Ein gewisser -- nämlich der bereits (l. c.)8, § 6 be-
trachtete -- Algorithmus Q0 umfasst 324 Gleichungen innerhalb U (von
dessen 132 ausreichenden Prämissen z. B. die Gleichung a (b : c) = [Formel 1] a
eine sein würde) und hat mit dem Algorithmus O1 von 150 Gleichungen
ein gewisses, leicht ausfindig zu machendes Formelsystem von 46 Gleichungen
gemein, das einen Algorithmus bildet, welcher Q1 heissen möge -- als
dessen Prämisse z. B. die Formel genommen werden könnte: (b : c) a = a : [Formel 2] .
Wir haben also:
O1 Q0 = Q1 oder (A1 + C1) Q0 = Q1.
Ferner ist (siehe unter A1) : A1 Q0 = K1; dazu C1 Q0 = C1, weil C1 ganz
in Q0 enthalten; somit: A1 Q0 + C1 Q0 = K1 + C1. Dass aber K1 + C1 = Q1
ist leicht nachzuweisen. Mithin gilt hier in der That:
(A1 + C1) Q0 = A1 Q0 + C1 Q0
als Gleichung.

Es kommen also beide durch das Zeichen in der ersten Sub-
sumtion des Distributionsgesetzes als Alternative offen gelassenen Fälle
faktisch vor.

"Beleg 7". Wir könnten auch unser Untersuchungsfeld noch
über U hinaus ausdehnen, indem wir es beispielsweise alle diejenigen
(auf eine Funktion zweier Argumente nebst ihren Umkehrungen be-
züglichen) Funktionalgleichungen umfassen liessen, welche (bei sym-
bolisch abgekürzter Schreibung dieser drei Grundfunktionen als Pro-
dukt, Bruch und Verhältniss) nicht mehr wie sechs Operationsglieder
a, b oder c enthalten.

Alsdann würden die Formeln des Gebietes nicht mehr allesamt
miteinander verträglich sein.

Es würden Fälle vorkommen, wo von zwei Funktionalgleichungen
zwar jede für sich als allgemeine Formel gelten kann und in der That
Lösungen besitzt, indem Funktionen sich angeben lassen, die sie
wirklich erfüllen -- wo aber beide Gleichungen unmöglich zusammen-
bestehen können, es keine Funktion geben wird, die sie gleichzeitig
erfüllte.

Ein solches Formelpaar wäre z. B. dieses:
a = (a · b) · (b · a) und b = (a · b) · (b · a).
Dass jede von diesen Formeln für sich als allgemeingültige bestehen
kann, thun bezüglich die beiden Tafeln dar:

Anhang 5.
eintritt, kommt übrigens auch zuweilen vor, und geben wir dazu noch
folgenden vorletzten

„Beleg 6“. Ein gewisser — nämlich der bereits (l. c.)8, § 6 be-
trachtete — Algorithmus Q0 umfasst 324 Gleichungen innerhalb U (von
dessen 132 ausreichenden Prämissen z. B. die Gleichung a (b : c) = [Formel 1] a
eine sein würde) und hat mit dem Algorithmus O1 von 150 Gleichungen
ein gewisses, leicht ausfindig zu machendes Formelsystem von 46 Gleichungen
gemein, das einen Algorithmus bildet, welcher Q1 heissen möge — als
dessen Prämisse z. B. die Formel genommen werden könnte: (b : c) a = a : [Formel 2] .
Wir haben also:
O1 Q0 = Q1 oder (A1 + C1) Q0 = Q1.
Ferner ist (siehe unter A1) : A1 Q0 = K1; dazu C1 Q0 = C1, weil C1 ganz
in Q0 enthalten; somit: A1 Q0 + C1 Q0 = K1 + C1. Dass aber K1 + C1 = Q1
ist leicht nachzuweisen. Mithin gilt hier in der That:
(A1 + C1) Q0 = A1 Q0 + C1 Q0
als Gleichung.

Es kommen also beide durch das Zeichen ⋹ in der ersten Sub-
sumtion des Distributionsgesetzes als Alternative offen gelassenen Fälle
faktisch vor.

„Beleg 7“. Wir könnten auch unser Untersuchungsfeld noch
über U hinaus ausdehnen, indem wir es beispielsweise alle diejenigen
(auf eine Funktion zweier Argumente nebst ihren Umkehrungen be-
züglichen) Funktionalgleichungen umfassen liessen, welche (bei sym-
bolisch abgekürzter Schreibung dieser drei Grundfunktionen als Pro-
dukt, Bruch und Verhältniss) nicht mehr wie sechs Operationsglieder
a, b oder c enthalten.

Alsdann würden die Formeln des Gebietes nicht mehr allesamt
miteinander verträglich sein.

Es würden Fälle vorkommen, wo von zwei Funktionalgleichungen
zwar jede für sich als allgemeine Formel gelten kann und in der That
Lösungen besitzt, indem Funktionen sich angeben lassen, die sie
wirklich erfüllen — wo aber beide Gleichungen unmöglich zusammen-
bestehen können, es keine Funktion geben wird, die sie gleichzeitig
erfüllte.

Ein solches Formelpaar wäre z. B. dieses:
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kann, thun bezüglich die beiden Tafeln dar:

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[644/0664] Anhang 5. eintritt, kommt übrigens auch zuweilen vor, und geben wir dazu noch folgenden vorletzten „Beleg 6“. Ein gewisser — nämlich der bereits (l. c.)8, § 6 be- trachtete — Algorithmus Q0 umfasst 324 Gleichungen innerhalb U (von dessen 132 ausreichenden Prämissen z. B. die Gleichung a (b : c) = [FORMEL] a eine sein würde) und hat mit dem Algorithmus O1 von 150 Gleichungen ein gewisses, leicht ausfindig zu machendes Formelsystem von 46 Gleichungen gemein, das einen Algorithmus bildet, welcher Q1 heissen möge — als dessen Prämisse z. B. die Formel genommen werden könnte: (b : c) a = a : [FORMEL]. Wir haben also: O1 Q0 = Q1 oder (A1 + C1) Q0 = Q1. Ferner ist (siehe unter A1) : A1 Q0 = K1; dazu C1 Q0 = C1, weil C1 ganz in Q0 enthalten; somit: A1 Q0 + C1 Q0 = K1 + C1. Dass aber K1 + C1 = Q1 ist leicht nachzuweisen. Mithin gilt hier in der That: (A1 + C1) Q0 = A1 Q0 + C1 Q0 als Gleichung. Es kommen also beide durch das Zeichen ⋹ in der ersten Sub- sumtion des Distributionsgesetzes als Alternative offen gelassenen Fälle faktisch vor. „Beleg 7“. Wir könnten auch unser Untersuchungsfeld noch über U hinaus ausdehnen, indem wir es beispielsweise alle diejenigen (auf eine Funktion zweier Argumente nebst ihren Umkehrungen be- züglichen) Funktionalgleichungen umfassen liessen, welche (bei sym- bolisch abgekürzter Schreibung dieser drei Grundfunktionen als Pro- dukt, Bruch und Verhältniss) nicht mehr wie sechs Operationsglieder a, b oder c enthalten. Alsdann würden die Formeln des Gebietes nicht mehr allesamt miteinander verträglich sein. Es würden Fälle vorkommen, wo von zwei Funktionalgleichungen zwar jede für sich als allgemeine Formel gelten kann und in der That Lösungen besitzt, indem Funktionen sich angeben lassen, die sie wirklich erfüllen — wo aber beide Gleichungen unmöglich zusammen- bestehen können, es keine Funktion geben wird, die sie gleichzeitig erfüllte. Ein solches Formelpaar wäre z. B. dieses: a = (a · b) · (b · a) und b = (a · b) · (b · a). Dass jede von diesen Formeln für sich als allgemeingültige bestehen kann, thun bezüglich die beiden Tafeln dar:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 644. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/664>, abgerufen am 26.04.2024.