Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

§ 43. Miss Ladd’s rechnerische Behandlung der 15 gültigen Modi.

Ebenso kann man aber auch den zweiten oder ersten Faktor nach
rechts werfen und darnach die Formel umschreiben in:
A₂) (α β = 0) (α γ ≠ 0) ⊆ (β₁ γ ≠ 0)
A₃) (β₁ γ = 0) (α γ ≠ 0) ⊆ (α β ≠ 0)
— vergleiche auch § 31. Die beiden Subsumtionen A₂) und A₃)
würden sich übrigens durch gleichzeitige Vertauschung von α mit γ
und β mit β₁ in einander überführen lassen und stellen dieselben
wesentlich nur einen Satz vor.

Miss Ladd stellt die Formel A) hin als einen besondern Fall der
allgemeineren Inkonsistenz:
B) (α β = 0) (γ δ = 0) {α γ (β + δ) ≠ 0} = 0
welche ihrerseits nur eine Umschreibung ist der Subsumtion:
B₁) (α β = 0) (γ δ = 0) ⊆ {α γ (β + δ) = 0},
die sich sozusagen von selbst versteht, in Anbetracht, dass unter den Vor-
aussetzungen linkerhand die beiden Terme des Polynoms der rechten Seite
beim Ausmultipliziren verschwinden, die Aussage rechterhand sich also be-
wahrheitet, in (0 = 0) = i übergeht.

Aus B) ergibt sich A) durch die Annahme δ = β₁, für welche also
β + δ = β + β₁ = 1 wird und als Faktor unterdrückt werden darf.

Mit dieser Betrachtung ist implicite auch eine neue Ableitung resp.
Demonstration des Theorems A₀) von Miss Ladd gegeben, welche als ori-
ginell zu bezeichnen ist.

Aus der gemeinsamen Hauptformel A), und zwar in ihrer Um-
schreibung A₁), geht nun der Syllogismus
Barbara hervor, indem man setzt:
α = a, β = b₁, γ = c₁
oder noch besser:
α = c₁, β = b, γ = a.

Hierduch ergibt sich in der That:
(a b₁ = 0) (b c₁ = 0) ⊆ (a c₁ = 0)
was nach Th. 38_×) äquivalent ist mit:
(a ⊆ b) (b ⊆ c) ⊆ (a ⊆ c).

Man kann jedoch natürlich auch selbständig zuwerke gehen. Um aus
den Prämissen a b₁ = 0 und b c₁ = 0 das Mittelglied b zu eliminiren, bilde
man die vereinigte Gleichung a b₁ + c₁ b = 0 und erhält als die Eliminations-
resultante: a c₁ = 0 oder a ⊆ c. Elegant gewinnt man rechnerisch die Kon-
klusion, indem man den Untersatz a b₁ = 0 mit c₁, den Obersatz b c₁ = 0
mit a durchmultiplizirt und die Ergebnisse überschiebend addirt, das
Th. 30₊) b₁ + b = 1 berücksichtigend, vergl. Peano¹ p. 16. —