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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.
= i und muss nach Def. (2+) A B1 i, also in der That A B1 C1
sein. Aus beiden Ergebnissen fliesst nach Def. (3x):
A B1 C C1.
Da aber C C1 = 0 nach Th. 30x) ist, so haben wir A B1 0 oder
nach Th. 5x): A B1 = 0. Es bleibt demnach gemäss Th. 21+) oben:
A = A B, oder kraft Th. 20x): A B, wie zu zeigen gewesen.

Rascher noch folgt auch dasselbe gemäss Th. 38x) sobald einmal
A B1 0 erkannt ist. --

Eine etwas einfachere Modifikation der in Rede stehenden "re-
ductio" ist die, dass aus der Annahme A B1 gefolgert wird: eine sich
unmittelbar als ungültig, "absurd", zu erkennen gebende Proposition C,
wie z. B. das Ergebniss, dass 0 = 1 sei.

Ist auf diese Weise dargethan, dass in der That
A B1 C
so haben wir auch, da C = (0 = 1) = 0 sein muss, wie vorhin
A B1 0, A B1 = 0,
somit nach Th. 38x):
A B,
d. h. das behauptete Theorem ist bewiesen.

Bei dieser Modifikation kommt der dem gefolgerten widersprechende
Satz:
C1 = (0 1) = i,
welcher als selbstverständlich gültig anzusehen, formell gar nicht,
m. a. W. nicht ausdrücklich zur Sprache und der "Widerspruch" als
solcher nicht notwendig zum Bewusstsein. --

Noch weiter vereinfacht erscheint das Beweisverfahren in dem
bereits oben als mitzugelassen gekennzeichneten Falle, wo die Voraus-
setzung A des zu beweisenden Theorems als eine selbstverständliche
gilt und darum nicht ausdrücklich als solche erwähnt sein mochte;
dies ist derjenige Fall, wo das Theorem als ein "voraussetzungsloses"
lediglich hinausläuft auf die Behauptung der Gültigkeit einer Pro-
position B.

In diesem Falle können wir auch den Faktor:
A = (0 = 0) = i
bei A B1 als einen belanglosen unterdrücken, und haben blos die
Überlegung:

Einundzwanzigste Vorlesung.
= i und muss nach Def. (2+) A B1 ⊆ i, also in der That A B1 ⊆ C1
sein. Aus beiden Ergebnissen fliesst nach Def. (3×):
A B1 ⊆ C C1.
Da aber C C1 = 0 nach Th. 30×) ist, so haben wir A B1 ⊆ 0 oder
nach Th. 5×): A B1 = 0. Es bleibt demnach gemäss Th. 21+) oben:
A = A B, oder kraft Th. 20×): A ⊆ B, wie zu zeigen gewesen.

Rascher noch folgt auch dasselbe gemäss Th. 38×) sobald einmal
A B1 ⊆ 0 erkannt ist. —

Eine etwas einfachere Modifikation der in Rede stehenden „re-
ductio“ ist die, dass aus der Annahme A B1 gefolgert wird: eine sich
unmittelbar als ungültig, „absurd“, zu erkennen gebende Proposition C,
wie z. B. das Ergebniss, dass 0 = 1 sei.

Ist auf diese Weise dargethan, dass in der That
A B1 ⊆ C
so haben wir auch, da C = (0 = 1) = 0 sein muss, wie vorhin
A B1 ⊆ 0, A B1 = 0,
somit nach Th. 38×):
A ⊆ B,
d. h. das behauptete Theorem ist bewiesen.

Bei dieser Modifikation kommt der dem gefolgerten widersprechende
Satz:
C1 = (0 ≠ 1) = i,
welcher als selbstverständlich gültig anzusehen, formell gar nicht,
m. a. W. nicht ausdrücklich zur Sprache und der „Widerspruch“ als
solcher nicht notwendig zum Bewusstsein. —

Noch weiter vereinfacht erscheint das Beweisverfahren in dem
bereits oben als mitzugelassen gekennzeichneten Falle, wo die Voraus-
setzung A des zu beweisenden Theorems als eine selbstverständliche
gilt und darum nicht ausdrücklich als solche erwähnt sein mochte;
dies ist derjenige Fall, wo das Theorem als ein „voraussetzungsloses“
lediglich hinausläuft auf die Behauptung der Gültigkeit einer Pro-
position B.

In diesem Falle können wir auch den Faktor:
A = (0 = 0) = i
bei A B1 als einen belanglosen unterdrücken, und haben blos die
Überlegung:

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[278/0302] Einundzwanzigste Vorlesung. = i und muss nach Def. (2+) A B1  i, also in der That A B1  C1 sein. Aus beiden Ergebnissen fliesst nach Def. (3×): A B1  C C1. Da aber C C1 = 0 nach Th. 30×) ist, so haben wir A B1  0 oder nach Th. 5×): A B1 = 0. Es bleibt demnach gemäss Th. 21+) oben: A = A B, oder kraft Th. 20×): A  B, wie zu zeigen gewesen. Rascher noch folgt auch dasselbe gemäss Th. 38×) sobald einmal A B1  0 erkannt ist. — Eine etwas einfachere Modifikation der in Rede stehenden „re- ductio“ ist die, dass aus der Annahme A B1 gefolgert wird: eine sich unmittelbar als ungültig, „absurd“, zu erkennen gebende Proposition C, wie z. B. das Ergebniss, dass 0 = 1 sei. Ist auf diese Weise dargethan, dass in der That A B1  C so haben wir auch, da C = (0 = 1) = 0 sein muss, wie vorhin A B1  0, A B1 = 0, somit nach Th. 38×): A  B, d. h. das behauptete Theorem ist bewiesen. Bei dieser Modifikation kommt der dem gefolgerten widersprechende Satz: C1 = (0 ≠ 1) = i, welcher als selbstverständlich gültig anzusehen, formell gar nicht, m. a. W. nicht ausdrücklich zur Sprache und der „Widerspruch“ als solcher nicht notwendig zum Bewusstsein. — Noch weiter vereinfacht erscheint das Beweisverfahren in dem bereits oben als mitzugelassen gekennzeichneten Falle, wo die Voraus- setzung A des zu beweisenden Theorems als eine selbstverständliche gilt und darum nicht ausdrücklich als solche erwähnt sein mochte; dies ist derjenige Fall, wo das Theorem als ein „voraussetzungsloses“ lediglich hinausläuft auf die Behauptung der Gültigkeit einer Pro- position B. In diesem Falle können wir auch den Faktor: A = (0 = 0) = i bei A B1 als einen belanglosen unterdrücken, und haben blos die Überlegung:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 278. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/302>, abgerufen am 26.04.2024.