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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 9. Irreduzible primäre Modulknüpfungen.

Ebenso wie a selbst können auch die mit a verwandten Relative
an, a, an nach den Schemata 2) mit den Moduln relativ verknüpft
werden. Die Knüpfungsergebnisse sind im Allgemeinen sowol unter
sich als von den bisherigen durchweg verschieden. Und es ist eine
namentlich bei dem Negat an verlohnende Übung für den Anfänger,
sich die Entstehungsweise von dessen irreduzibeln Modulknüpfungen
aus a selber zum Bewusstsein zu bringen und mit Worten zu formuliren.

Dass übrigens die aus den Verwandtenknüpfungen hinzutretenden
Relative nichts andres sein werden als Negate, Konverse und Strich-
konverse von den bisher besprochenen Modulknüpfungen, geht aus der
Anwendung der Sätze 9) bis 12) des § 6 auf die Fälle wo a oder
aber b einen Modul vorstellt, in Verbindung mit 13) des Abacus in
§ 8 hervor -- wonach wir haben:
20) [Formel 1]
21) [Formel 2]

Hiermit ist nun auch Dasjenige erhärtet, was wir inbezug auf das
Dualisiren und Konvertiren für den Fall des Auftretens von Moduln als
Termen in § 6 vorgreifend angemerkt haben (S. 89 u. 92).

Von den zahlreichen Sätzen über unsre irreduzibeln Modul-
knüpfungen seien hiernächst nur diese noch angeführt:
22) [Formel 3]
wo die der zweiten Zeile durch Kontraposition aus denen der ersten
folgen. Ersetzte man auf der einen Seite vom Mittelstrich das a
durch an, so könnte auch der Mittelstrich in ein Gleichheitszeichen ver-
wandelt werden.

Beweis. Ist jedes ai j = 0, so ist auch Shai h = 0 und jedes (a ; 1)i j = 0,
also (a = 0) (a ; 1 = 0).

Ist umgekehrt jedes (a ; 1)i j = 0, so muss nach 5) des § 8 zugleich
mit der Summe Shai h auch jeder Term ai h verschwinden, d. h. es muss
auch jedes ai j gleich 0 sein, womit erkannt ist, dass auch (a ; 1 = 0) (a = 0),
q. e. d.

Ebendies leuchtet aus der geometrischen Evidenz ohne weitres ein:
soll ein Relativ a 0 sein, so wird seine Matrix mindestens ein Auge
haben; dann hat aber a auch wenigstens eine besetzte Zeile sowol als
Kolonne, und a ; 1 mindestens eine Vollzeile, 1 ; a eine Vollkolonne, etc.

Soll das aus den Vollzeilen von a gebildete Relativ a j 0 gleich 1

Schröder, Algebra der Relative. 10
§ 9. Irreduzible primäre Modulknüpfungen.

Ebenso wie a selbst können auch die mit a verwandten Relative
ā, ă, ā̆ nach den Schemata 2) mit den Moduln relativ verknüpft
werden. Die Knüpfungsergebnisse sind im Allgemeinen sowol unter
sich als von den bisherigen durchweg verschieden. Und es ist eine
namentlich bei dem Negat ā verlohnende Übung für den Anfänger,
sich die Entstehungsweise von dessen irreduzibeln Modulknüpfungen
aus a selber zum Bewusstsein zu bringen und mit Worten zu formuliren.

Dass übrigens die aus den Verwandtenknüpfungen hinzutretenden
Relative nichts andres sein werden als Negate, Konverse und Strich-
konverse von den bisher besprochenen Modulknüpfungen, geht aus der
Anwendung der Sätze 9) bis 12) des § 6 auf die Fälle wo a oder
aber b einen Modul vorstellt, in Verbindung mit 13) des Abacus in
§ 8 hervor — wonach wir haben:
20) [Formel 1]
21) [Formel 2]

Hiermit ist nun auch Dasjenige erhärtet, was wir inbezug auf das
Dualisiren und Konvertiren für den Fall des Auftretens von Moduln als
Termen in § 6 vorgreifend angemerkt haben (S. 89 u. 92).

Von den zahlreichen Sätzen über unsre irreduzibeln Modul-
knüpfungen seien hiernächst nur diese noch angeführt:
22) [Formel 3]
wo die der zweiten Zeile durch Kontraposition aus denen der ersten
folgen. Ersetzte man auf der einen Seite vom Mittelstrich das a
durch ā, so könnte auch der Mittelstrich in ein Gleichheitszeichen ver-
wandelt werden.

Beweis. Ist jedes ai j = 0, so ist auch Σhai h = 0 und jedes (a ; 1)i j = 0,
also (a = 0) ⋹ (a ; 1 = 0).

Ist umgekehrt jedes (a ; 1)i j = 0, so muss nach 5) des § 8 zugleich
mit der Summe Σhai h auch jeder Term ai h verschwinden, d. h. es muss
auch jedes ai j gleich 0 sein, womit erkannt ist, dass auch (a ; 1 = 0) ⋹ (a = 0),
q. e. d.

Ebendies leuchtet aus der geometrischen Evidenz ohne weitres ein:
soll ein Relativ a ≠ 0 sein, so wird seine Matrix mindestens ein Auge
haben; dann hat aber a auch wenigstens eine besetzte Zeile sowol als
Kolonne, und a ; 1 mindestens eine Vollzeile, 1 ; a eine Vollkolonne, etc.

Soll das aus den Vollzeilen von a gebildete Relativ a ɟ 0 gleich 1

Schröder, Algebra der Relative. 10
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[145/0159] § 9. Irreduzible primäre Modulknüpfungen. Ebenso wie a selbst können auch die mit a verwandten Relative ā, ă, ā̆ nach den Schemata 2) mit den Moduln relativ verknüpft werden. Die Knüpfungsergebnisse sind im Allgemeinen sowol unter sich als von den bisherigen durchweg verschieden. Und es ist eine namentlich bei dem Negat ā verlohnende Übung für den Anfänger, sich die Entstehungsweise von dessen irreduzibeln Modulknüpfungen aus a selber zum Bewusstsein zu bringen und mit Worten zu formuliren. Dass übrigens die aus den Verwandtenknüpfungen hinzutretenden Relative nichts andres sein werden als Negate, Konverse und Strich- konverse von den bisher besprochenen Modulknüpfungen, geht aus der Anwendung der Sätze 9) bis 12) des § 6 auf die Fälle wo a oder aber b einen Modul vorstellt, in Verbindung mit 13) des Abacus in § 8 hervor — wonach wir haben: 20) [FORMEL] 21) [FORMEL] Hiermit ist nun auch Dasjenige erhärtet, was wir inbezug auf das Dualisiren und Konvertiren für den Fall des Auftretens von Moduln als Termen in § 6 vorgreifend angemerkt haben (S. 89 u. 92). Von den zahlreichen Sätzen über unsre irreduzibeln Modul- knüpfungen seien hiernächst nur diese noch angeführt: 22) [FORMEL] wo die der zweiten Zeile durch Kontraposition aus denen der ersten folgen. Ersetzte man auf der einen Seite vom Mittelstrich das a durch ā, so könnte auch der Mittelstrich in ein Gleichheitszeichen ver- wandelt werden. Beweis. Ist jedes ai j = 0, so ist auch Σhai h = 0 und jedes (a ; 1)i j = 0, also (a = 0) ⋹ (a ; 1 = 0). Ist umgekehrt jedes (a ; 1)i j = 0, so muss nach 5) des § 8 zugleich mit der Summe Σhai h auch jeder Term ai h verschwinden, d. h. es muss auch jedes ai j gleich 0 sein, womit erkannt ist, dass auch (a ; 1 = 0) ⋹ (a = 0), q. e. d. Ebendies leuchtet aus der geometrischen Evidenz ohne weitres ein: soll ein Relativ a ≠ 0 sein, so wird seine Matrix mindestens ein Auge haben; dann hat aber a auch wenigstens eine besetzte Zeile sowol als Kolonne, und a ; 1 mindestens eine Vollzeile, 1 ; a eine Vollkolonne, etc. Soll das aus den Vollzeilen von a gebildete Relativ a ɟ 0 gleich 1 Schröder, Algebra der Relative. 10

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 145. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/159>, abgerufen am 26.04.2024.