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Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

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Daraus ergiebt sich denn, dass der Werth von S die Grenze ist, in welcher sich
die Formel
[Formel 1] nähert, wenn t, s unendlich klein werden. Diese Formel lässt sich aber, wenn
man bei dem ersten Integrale die Substitution [Formel 2] , bei dem andern die Sub-
stitution [Formel 3] anwendet, und [Formel 4] setzt, umwandeln in
[Formel 5] ,
welcher Ausdruck für s = 0, t = 0 übergeht in
[Formel 6] Es ist demnach [Formel 7] ,
oder 4. [Formel 8]

§. 2.

Die Doppel-Integrale auf der linken Seite der Gleichungen (3, 4) des vorher-
gehenden §. können, weil F (x, y) in Beziehung auf x sowohl als y eine ganze
Function vom (2n--1)ten Grade ist, dargestellt werden als ein Aggregat von Gliedern,
von denen jedes ein Product zweier Abel'schen Integrale der ersten und zweiten
Gattung ist; die Gleichungen (3, 4) geben also eine Reihe von Relationen unter
solchen Integralen, die man in Erweiterung der Legendre'schen Benennung vollstän-
dige
Abel'sche Integrale nennen kann.

Wenn R (x) vom dritten Grade ist, so ist [Formel 9] , und es reduci-
ren sich die Gleichungen auf die einzige

Daraus ergiebt sich denn, dass der Werth von S die Grenze ist, in welcher sich
die Formel
[Formel 1] nähert, wenn t, s unendlich klein werden. Diese Formel lässt sich aber, wenn
man bei dem ersten Integrale die Substitution [Formel 2] , bei dem andern die Sub-
stitution [Formel 3] anwendet, und [Formel 4] setzt, umwandeln in
[Formel 5] ,
welcher Ausdruck für s = 0, t = 0 übergeht in
[Formel 6] Es ist demnach [Formel 7] ,
oder 4. [Formel 8]

§. 2.

Die Doppel-Integrale auf der linken Seite der Gleichungen (3, 4) des vorher-
gehenden §. können, weil F (x, y) in Beziehung auf x sowohl als y eine ganze
Function vom (2n—1)ten Grade ist, dargestellt werden als ein Aggregat von Gliedern,
von denen jedes ein Product zweier Abel’schen Integrale der ersten und zweiten
Gattung ist; die Gleichungen (3, 4) geben also eine Reihe von Relationen unter
solchen Integralen, die man in Erweiterung der Legendre’schen Benennung vollstän-
dige
Abel’sche Integrale nennen kann.

Wenn R (x) vom dritten Grade ist, so ist [Formel 9] , und es reduci-
ren sich die Gleichungen auf die einzige

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[8/0013] Daraus ergiebt sich denn, dass der Werth von S die Grenze ist, in welcher sich die Formel [FORMEL] nähert, wenn t, s unendlich klein werden. Diese Formel lässt sich aber, wenn man bei dem ersten Integrale die Substitution [FORMEL], bei dem andern die Sub- stitution [FORMEL] anwendet, und [FORMEL] setzt, umwandeln in [FORMEL], welcher Ausdruck für s = 0, t = 0 übergeht in [FORMEL] Es ist demnach [FORMEL], oder 4. [FORMEL] §. 2. Die Doppel-Integrale auf der linken Seite der Gleichungen (3, 4) des vorher- gehenden §. können, weil F (x, y) in Beziehung auf x sowohl als y eine ganze Function vom (2n—1)ten Grade ist, dargestellt werden als ein Aggregat von Gliedern, von denen jedes ein Product zweier Abel’schen Integrale der ersten und zweiten Gattung ist; die Gleichungen (3, 4) geben also eine Reihe von Relationen unter solchen Integralen, die man in Erweiterung der Legendre’schen Benennung vollstän- dige Abel’sche Integrale nennen kann. Wenn R (x) vom dritten Grade ist, so ist [FORMEL], und es reduci- ren sich die Gleichungen auf die einzige

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Zitationshilfe: Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 8. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/13>, abgerufen am 30.05.2020.