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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Subsumtion.
Es ist dann in der That das Formelsystem des Algorithmus A kleiner,
nur ein Teil (m. a. W. "echter Teil") des Formelsystems des Algo-
rithmus B.

Allerdings ist auch die umgekehrte Schreibweise berechtigt und wird
im "Aussagenkalkul" vorgezogen -- vergl. Bd. 2 § 28 -- im Hinblick
darauf, dass die Zeit, während welcher (resp. die Klasse der Gelegenheiten
bei welchen) die von einer andern B einseitig bedingte Aussage A als
wahr anzuerkennen ist, nur ein Teil sein wird der Zeit (resp. etc.) während
welcher die Aussage A gilt:

Wenn (wann, solange, sooft) B gilt, gilt auch A aber nicht umge-
kehrt; A kann auch gelten ohne B.

Ebenso ist nun auch hier die Gesamtheit der Fälle in welchen (die
Klasse der Funktionen, für welche) der Algorithmus B erfüllt wird, nur
ein Teil von derjenigen, für welche es der Algorithmus A ist. Unter
diesem Gesichtspunkt müsste man eigentlich die Schreibung:
b) B A
zur Darstellung des vorausgesetzten Sachverhalts wählen.

Wenn demnach das Zeichen der Unterordnung genau dem
Zeichen < entsprechend verwendet werden soll, so hat man doch für ein-
unddieselbe Beziehung a priori unter zwei Schreibweisen die Wahl, nämlich
einer extensiven a), bei der mehr auf die räumliche (Flächen-)Ausbreitung
der -- etwa geschrieben gedachten -- Sätze oder Formelsysteme gesehen,
und einer intensiven b), bei welcher mehr auf ihre zeitliche Ausdehnung,
ihre Gültigkeitsdauer, das Augenmerk gerichtet wird, oder -- sofern man
von einer solchen nicht sprechen mag -- auf die Klasse der Gelegenheiten,
wo sie Anwendung finden, hier also die Fälle des Erfülltseins oder die Klasse
der Lösungen der Funktionalgleichungen.

Durch die Bevorzugung der extensiven vor der intensiven Schreibung
unterscheidet sich der hier vorzutragende Kalkul schon in der Anlage von
dem später vorzutragenden Aussagenkalkul.

Ich würde mich unter Umständen wol auch der zweiten Schreibweise
anschliessen, muss aber hier der ersteren den Vorzug geben.

Folgt nicht nur A aus B, sondern auch B aus A, so sind die
Formelsysteme der Algorithmen A und B identisch dieselben, und
schreiben wir:
A = B oder B = A.

Denn da wir nur mit Algorithmen zu thun haben wollen, so ist
das Formelsystem A ergänzt zu denken durch Zuziehung aller seiner
Konsequenzen, zu denen nach der Voraussetzung auch B gehört, und
umgekehrt, d. h. beide sind eines.

Um lediglich auszudrücken, dass A aus B folgt, während un-
bekannt ist oder unentschieden, offen gelassen werden soll, ob auch
umgekehrt B aus A folge, werden wir schreiben:
A B desgl. B @ A,

Subsumtion.
Es ist dann in der That das Formelsystem des Algorithmus A kleiner,
nur ein Teil (m. a. W. „echter Teil“) des Formelsystems des Algo-
rithmus B.

Allerdings ist auch die umgekehrte Schreibweise berechtigt und wird
im „Aussagenkalkul“ vorgezogen — vergl. Bd. 2 § 28 — im Hinblick
darauf, dass die Zeit, während welcher (resp. die Klasse der Gelegenheiten
bei welchen) die von einer andern B einseitig bedingte Aussage A als
wahr anzuerkennen ist, nur ein Teil sein wird der Zeit (resp. etc.) während
welcher die Aussage A gilt:

Wenn (wann, solange, sooft) B gilt, gilt auch A aber nicht umge-
kehrt; A kann auch gelten ohne B.

Ebenso ist nun auch hier die Gesamtheit der Fälle in welchen (die
Klasse der Funktionen, für welche) der Algorithmus B erfüllt wird, nur
ein Teil von derjenigen, für welche es der Algorithmus A ist. Unter
diesem Gesichtspunkt müsste man eigentlich die Schreibung:
β) B ⊂ A
zur Darstellung des vorausgesetzten Sachverhalts wählen.

Wenn demnach das Zeichen ⊂ der Unterordnung genau dem
Zeichen < entsprechend verwendet werden soll, so hat man doch für ein-
unddieselbe Beziehung a priori unter zwei Schreibweisen die Wahl, nämlich
einer extensiven α), bei der mehr auf die räumliche (Flächen-)Ausbreitung
der — etwa geschrieben gedachten — Sätze oder Formelsysteme gesehen,
und einer intensiven β), bei welcher mehr auf ihre zeitliche Ausdehnung,
ihre Gültigkeitsdauer, das Augenmerk gerichtet wird, oder — sofern man
von einer solchen nicht sprechen mag — auf die Klasse der Gelegenheiten,
wo sie Anwendung finden, hier also die Fälle des Erfülltseins oder die Klasse
der Lösungen der Funktionalgleichungen.

Durch die Bevorzugung der extensiven vor der intensiven Schreibung
unterscheidet sich der hier vorzutragende Kalkul schon in der Anlage von
dem später vorzutragenden Aussagenkalkul.

Ich würde mich unter Umständen wol auch der zweiten Schreibweise
anschliessen, muss aber hier der ersteren den Vorzug geben.

Folgt nicht nur A aus B, sondern auch B aus A, so sind die
Formelsysteme der Algorithmen A und B identisch dieselben, und
schreiben wir:
A = B oder B = A.

Denn da wir nur mit Algorithmen zu thun haben wollen, so ist
das Formelsystem A ergänzt zu denken durch Zuziehung aller seiner
Konsequenzen, zu denen nach der Voraussetzung auch B gehört, und
umgekehrt, d. h. beide sind eines.

Um lediglich auszudrücken, dass A aus B folgt, während un-
bekannt ist oder unentschieden, offen gelassen werden soll, ob auch
umgekehrt B aus A folge, werden wir schreiben:
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[623/0643] Subsumtion. Es ist dann in der That das Formelsystem des Algorithmus A kleiner, nur ein Teil (m. a. W. „echter Teil“) des Formelsystems des Algo- rithmus B. Allerdings ist auch die umgekehrte Schreibweise berechtigt und wird im „Aussagenkalkul“ vorgezogen — vergl. Bd. 2 § 28 — im Hinblick darauf, dass die Zeit, während welcher (resp. die Klasse der Gelegenheiten bei welchen) die von einer andern B einseitig bedingte Aussage A als wahr anzuerkennen ist, nur ein Teil sein wird der Zeit (resp. etc.) während welcher die Aussage A gilt: Wenn (wann, solange, sooft) B gilt, gilt auch A aber nicht umge- kehrt; A kann auch gelten ohne B. Ebenso ist nun auch hier die Gesamtheit der Fälle in welchen (die Klasse der Funktionen, für welche) der Algorithmus B erfüllt wird, nur ein Teil von derjenigen, für welche es der Algorithmus A ist. Unter diesem Gesichtspunkt müsste man eigentlich die Schreibung: β) B ⊂ A zur Darstellung des vorausgesetzten Sachverhalts wählen. Wenn demnach das Zeichen ⊂ der Unterordnung genau dem Zeichen < entsprechend verwendet werden soll, so hat man doch für ein- unddieselbe Beziehung a priori unter zwei Schreibweisen die Wahl, nämlich einer extensiven α), bei der mehr auf die räumliche (Flächen-)Ausbreitung der — etwa geschrieben gedachten — Sätze oder Formelsysteme gesehen, und einer intensiven β), bei welcher mehr auf ihre zeitliche Ausdehnung, ihre Gültigkeitsdauer, das Augenmerk gerichtet wird, oder — sofern man von einer solchen nicht sprechen mag — auf die Klasse der Gelegenheiten, wo sie Anwendung finden, hier also die Fälle des Erfülltseins oder die Klasse der Lösungen der Funktionalgleichungen. Durch die Bevorzugung der extensiven vor der intensiven Schreibung unterscheidet sich der hier vorzutragende Kalkul schon in der Anlage von dem später vorzutragenden Aussagenkalkul. Ich würde mich unter Umständen wol auch der zweiten Schreibweise anschliessen, muss aber hier der ersteren den Vorzug geben. Folgt nicht nur A aus B, sondern auch B aus A, so sind die Formelsysteme der Algorithmen A und B identisch dieselben, und schreiben wir: A = B oder B = A. Denn da wir nur mit Algorithmen zu thun haben wollen, so ist das Formelsystem A ergänzt zu denken durch Zuziehung aller seiner Konsequenzen, zu denen nach der Voraussetzung auch B gehört, und umgekehrt, d. h. beide sind eines. Um lediglich auszudrücken, dass A aus B folgt, während un- bekannt ist oder unentschieden, offen gelassen werden soll, ob auch umgekehrt B aus A folge, werden wir schreiben: A ⋹ B desgl. B  A,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 623. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/643>, abgerufen am 26.04.2024.