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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

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[Gleich. 249] § 24. Verallgemeinerte Entropie.

Wir wollen nun den Ausdruck H bloss für die in einem
Volumenelemente d o enthaltene Gasmasse bilden. Den so
gefundenen Werth multipliciren wir mit -- R M und dividiren
durch d o. Die so gebildete Grösse sei
J = -- R M integral fl f d o.
J d o ist dann die Entropie der in d o enthaltenen Gasmasse.

Substituiren wir nun für f und l f obige Werthe, so er-
halten wir erstens ein Glied, welches von den Coefficienten b
und c frei ist. Dasselbe ist die durch d o dividirte Entropie,
welche der in d o enthaltenen Gasmasse zukäme, wenn in der-
selben bei gleichem Energie-(Wärme-)Inhalte und bei gleicher
fortschreitender Bewegung im Raume das Maxwell'sche Ge-
schwindigkeitsvertheilungsgesetz herrschen würde. Es kann wie
in § 19 berechnet werden und hat, wie dort gezeigt, abgesehen
von einer Constanten, den Werth
[Formel 1] .
Zweitens erhalten wir Glieder, welche bezüglich der Coefficienten
b und c linear sind. Dieselben verschwinden jedoch sämmtlich.
Da nämlich [Formel 2] ist, wenn eine der
Zahlen a, b, c ungerade ist, so verschwinden die Coefficienten
von b12, b13, b23, c1, c2 und c3. Sind aber alle drei Zahlen a, b, c
gerade, so ändert das Integrale durch cyklische Vertauschung
von x0, y0 und z0 seinen Werth nicht. Es erhalten also b11,
b22 und b33 denselben Coefficienten und die Summe der be-
treffenden Glieder verschwindet ebenfalls, wegen
b11 + b22 + b33 = 0.

Da wir die Glieder von noch höherer Grössenordnung ver-
nachlässigen, so bleiben im Ausdrucke für J noch die Glieder
zweiter Ordnung bezüglich der Coefficienten b und c. Ihre
Summe ist:
[Formel 3] .

Von derselben Grössenordnung sind freilich die nächsten
Glieder, welche zum Ausdrucke 242 hinzukommen sollten und

[Gleich. 249] § 24. Verallgemeinerte Entropie.

Wir wollen nun den Ausdruck H bloss für die in einem
Volumenelemente d o enthaltene Gasmasse bilden. Den so
gefundenen Werth multipliciren wir mit — R M und dividiren
durch d o. Die so gebildete Grösse sei
J = — R M ∫ fl f d ω.
J d o ist dann die Entropie der in d o enthaltenen Gasmasse.

Substituiren wir nun für f und l f obige Werthe, so er-
halten wir erstens ein Glied, welches von den Coëfficienten b
und c frei ist. Dasselbe ist die durch d o dividirte Entropie,
welche der in d o enthaltenen Gasmasse zukäme, wenn in der-
selben bei gleichem Energie-(Wärme-)Inhalte und bei gleicher
fortschreitender Bewegung im Raume das Maxwell’sche Ge-
schwindigkeitsvertheilungsgesetz herrschen würde. Es kann wie
in § 19 berechnet werden und hat, wie dort gezeigt, abgesehen
von einer Constanten, den Werth
[Formel 1] .
Zweitens erhalten wir Glieder, welche bezüglich der Coëfficienten
b und c linear sind. Dieselben verschwinden jedoch sämmtlich.
Da nämlich [Formel 2] ist, wenn eine der
Zahlen a, b, c ungerade ist, so verschwinden die Coëfficienten
von b12, b13, b23, c1, c2 und c3. Sind aber alle drei Zahlen a, b, c
gerade, so ändert das Integrale durch cyklische Vertauschung
von x0, y0 und z0 seinen Werth nicht. Es erhalten also b11,
b22 und b33 denselben Coëfficienten und die Summe der be-
treffenden Glieder verschwindet ebenfalls, wegen
b11 + b22 + b33 = 0.

Da wir die Glieder von noch höherer Grössenordnung ver-
nachlässigen, so bleiben im Ausdrucke für J noch die Glieder
zweiter Ordnung bezüglich der Coëfficienten b und c. Ihre
Summe ist:
[Formel 3] .

Von derselben Grössenordnung sind freilich die nächsten
Glieder, welche zum Ausdrucke 242 hinzukommen sollten und

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[191/0205] [Gleich. 249] § 24. Verallgemeinerte Entropie. Wir wollen nun den Ausdruck H bloss für die in einem Volumenelemente d o enthaltene Gasmasse bilden. Den so gefundenen Werth multipliciren wir mit — R M und dividiren durch d o. Die so gebildete Grösse sei J = — R M ∫ fl f d ω. J d o ist dann die Entropie der in d o enthaltenen Gasmasse. Substituiren wir nun für f und l f obige Werthe, so er- halten wir erstens ein Glied, welches von den Coëfficienten b und c frei ist. Dasselbe ist die durch d o dividirte Entropie, welche der in d o enthaltenen Gasmasse zukäme, wenn in der- selben bei gleichem Energie-(Wärme-)Inhalte und bei gleicher fortschreitender Bewegung im Raume das Maxwell’sche Ge- schwindigkeitsvertheilungsgesetz herrschen würde. Es kann wie in § 19 berechnet werden und hat, wie dort gezeigt, abgesehen von einer Constanten, den Werth [FORMEL]. Zweitens erhalten wir Glieder, welche bezüglich der Coëfficienten b und c linear sind. Dieselben verschwinden jedoch sämmtlich. Da nämlich [FORMEL] ist, wenn eine der Zahlen a, b, c ungerade ist, so verschwinden die Coëfficienten von b12, b13, b23, c1, c2 und c3. Sind aber alle drei Zahlen a, b, c gerade, so ändert das Integrale durch cyklische Vertauschung von x0, y0 und z0 seinen Werth nicht. Es erhalten also b11, b22 und b33 denselben Coëfficienten und die Summe der be- treffenden Glieder verschwindet ebenfalls, wegen b11 + b22 + b33 = 0. Da wir die Glieder von noch höherer Grössenordnung ver- nachlässigen, so bleiben im Ausdrucke für J noch die Glieder zweiter Ordnung bezüglich der Coëfficienten b und c. Ihre Summe ist: [FORMEL]. Von derselben Grössenordnung sind freilich die nächsten Glieder, welche zum Ausdrucke 242 hinzukommen sollten und

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896, S. 191. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/205>, abgerufen am 26.04.2024.