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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770.

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Zweyter Abschnitt
und n gerad ist, die letztere Differenz der erstern nicht
mehr ähnlich sey, und man also daraus nicht weiter auf
kleinere Zahlen den Schluß machen könnte. Es ist
aber genug daß man von der erstern Differenz auf
die andere gekommen, und wir werden anjetzo zeigen
daß auch x4 - y4 kein Quadrat seyn könne, wann
das eine Biquadrat gerad und das andere ungerad
ist.

I. Wäre das erstere x4 gerad und y4 ungerad,
so wäre die Sach an sich nicht möglich, weil
eine Zahl von der Form 4n + 3 herauskäme
die kein Quadrat seyn kann. Es sey dem-
nach x ungerad und y gerad, so muß seyn
xx = pp + qq und y = 2pq, dann so wird
x4 - y4 = p4 - 2pp qq + q4 = (pp - qq)2,
wo von p und q das eine gerad das andere
aber ungerad seyn muß.
II. Da nun pp + qq = xx ein Quadrat seyn
muß, so wird p = rr - ss und q = 2rs; folglich
x = rr + ss. Hieraus aber wird yy =
2(rr - ss). 2rs oder yy = 4rs(rr - ss), welches
ein Quadrat seyn muß, und also auch der vierte
Theil davon nemlich rs (rr - ss), wovon die
Factoren unter sich untheilbahr sind.
III.

Zweyter Abſchnitt
und n gerad iſt, die letztere Differenz der erſtern nicht
mehr aͤhnlich ſey, und man alſo daraus nicht weiter auf
kleinere Zahlen den Schluß machen koͤnnte. Es iſt
aber genug daß man von der erſtern Differenz auf
die andere gekommen, und wir werden anjetzo zeigen
daß auch x4 - y4 kein Quadrat ſeyn koͤnne, wann
das eine Biquadrat gerad und das andere ungerad
iſt.

I. Waͤre das erſtere x4 gerad und y4 ungerad,
ſo waͤre die Sach an ſich nicht moͤglich, weil
eine Zahl von der Form 4n + 3 herauskaͤme
die kein Quadrat ſeyn kann. Es ſey dem-
nach x ungerad und y gerad, ſo muß ſeyn
xx = pp + qq und y = 2pq, dann ſo wird
x4 - y4 = p4 - 2pp qq + q4 = (pp - qq)2,
wo von p und q das eine gerad das andere
aber ungerad ſeyn muß.
II. Da nun pp + qq = xx ein Quadrat ſeyn
muß, ſo wird p = rr - ss und q = 2rs; folglich
x = rr + ss. Hieraus aber wird yy =
2(rr - ss). 2rs oder yy = 4rs(rr - ss), welches
ein Quadrat ſeyn muß, und alſo auch der vierte
Theil davon nemlich rs (rr - ss), wovon die
Factoren unter ſich untheilbahr ſind.
III.
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[428/0430] Zweyter Abſchnitt und n gerad iſt, die letztere Differenz der erſtern nicht mehr aͤhnlich ſey, und man alſo daraus nicht weiter auf kleinere Zahlen den Schluß machen koͤnnte. Es iſt aber genug daß man von der erſtern Differenz auf die andere gekommen, und wir werden anjetzo zeigen daß auch x4 - y4 kein Quadrat ſeyn koͤnne, wann das eine Biquadrat gerad und das andere ungerad iſt. I. Waͤre das erſtere x4 gerad und y4 ungerad, ſo waͤre die Sach an ſich nicht moͤglich, weil eine Zahl von der Form 4n + 3 herauskaͤme die kein Quadrat ſeyn kann. Es ſey dem- nach x ungerad und y gerad, ſo muß ſeyn xx = pp + qq und y = 2pq, dann ſo wird x4 - y4 = p4 - 2pp qq + q4 = (pp - qq)2, wo von p und q das eine gerad das andere aber ungerad ſeyn muß. II. Da nun pp + qq = xx ein Quadrat ſeyn muß, ſo wird p = rr - ss und q = 2rs; folglich x = rr + ss. Hieraus aber wird yy = 2(rr - ss). 2rs oder yy = 4rs(rr - ss), welches ein Quadrat ſeyn muß, und alſo auch der vierte Theil davon nemlich rs (rr - ss), wovon die Factoren unter ſich untheilbahr ſind. III.

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Zitationshilfe: Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 428. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/430>, abgerufen am 28.04.2024.