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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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16.

In der Beweisführung des vorhergehenden Artikels ist
zwar vorausgesetzt, dass die Schnitte der Fläche mit den durch
die erste Coordinatenaxe gelegten Ebenen in P eine messbare
Krümmung haben: allein unser Resultat bleibt auch noch gül-
tig, wenn die Krümmung in P unendlich gross ist, einen ein-
zigen Fall ausgenommen. Dass [Formel 1] für ein unendlich kleines
r selbst unendlich klein werden müsse, bringt schon die Vor-
aussetzung des Vorhandenseins einer bestimmten Berührungs-
ebene an der Fläche in P mit sich; allein von einerlei Ord-
nung sind beide Grössen nur dann, wenn ein endlicher Krüm-
mungshalbmesser Statt findet; bei einem unendlich kleinen
Krümmungshalbmesser hingegen wird [Formel 2] von einer niedrigern
Ordnung sein als r. Wir werden nun zeigen, dass unsre Re-
sultate auch im letztern Falle ihre Gültigkeit behalten, wenn
nur die Ordnungen beider Grössen vergleichbar sind.

Nehmen wir also an, [Formel 3] sei von derselben Ordnung wie
rm, wo m einen endlichen positiven Exponenten bedeutet, also
[Formel 4] eine endliche in dem in Rede stehenden Raume nach
der Stetigkeit sich ändernde Grösse, die wir mit B bezeichnen
wollen. Es zerfällt also das Integral [Formel 5] in die
beiden folgenden
[Formel 6] Auf das zweite Integral lassen sich die Schlüsse des vorher-
gehenden Artikels unmittelbar anwenden, auf das erste hinge-
gen nach einer leichten Umformung. Setzt man nemlich [Formel 7]
oder r = sm, so wird jenes Integral
[Formel 8]

16.

In der Beweisführung des vorhergehenden Artikels ist
zwar vorausgesetzt, dass die Schnitte der Fläche mit den durch
die erste Coordinatenaxe gelegten Ebenen in P eine meſsbare
Krümmung haben: allein unser Resultat bleibt auch noch gül-
tig, wenn die Krümmung in P unendlich groſs ist, einen ein-
zigen Fall ausgenommen. Daſs [Formel 1] für ein unendlich kleines
ρ selbst unendlich klein werden müsse, bringt schon die Vor-
aussetzung des Vorhandenseins einer bestimmten Berührungs-
ebene an der Fläche in P mit sich; allein von einerlei Ord-
nung sind beide Gröſsen nur dann, wenn ein endlicher Krüm-
mungshalbmesser Statt findet; bei einem unendlich kleinen
Krümmungshalbmesser hingegen wird [Formel 2] von einer niedrigern
Ordnung sein als ρ. Wir werden nun zeigen, daſs unsre Re-
sultate auch im letztern Falle ihre Gültigkeit behalten, wenn
nur die Ordnungen beider Gröſsen vergleichbar sind.

Nehmen wir also an, [Formel 3] sei von derselben Ordnung wie
ρμ, wo μ einen endlichen positiven Exponenten bedeutet, also
[Formel 4] eine endliche in dem in Rede stehenden Raume nach
der Stetigkeit sich ändernde Gröſse, die wir mit B bezeichnen
wollen. Es zerfällt also das Integral [Formel 5] in die
beiden folgenden
[Formel 6] Auf das zweite Integral lassen sich die Schlüsse des vorher-
gehenden Artikels unmittelbar anwenden, auf das erste hinge-
gen nach einer leichten Umformung. Setzt man nemlich [Formel 7]
oder ρ = σm, so wird jenes Integral
[Formel 8]

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[24/0029] 16. In der Beweisführung des vorhergehenden Artikels ist zwar vorausgesetzt, dass die Schnitte der Fläche mit den durch die erste Coordinatenaxe gelegten Ebenen in P eine meſsbare Krümmung haben: allein unser Resultat bleibt auch noch gül- tig, wenn die Krümmung in P unendlich groſs ist, einen ein- zigen Fall ausgenommen. Daſs [FORMEL] für ein unendlich kleines ρ selbst unendlich klein werden müsse, bringt schon die Vor- aussetzung des Vorhandenseins einer bestimmten Berührungs- ebene an der Fläche in P mit sich; allein von einerlei Ord- nung sind beide Gröſsen nur dann, wenn ein endlicher Krüm- mungshalbmesser Statt findet; bei einem unendlich kleinen Krümmungshalbmesser hingegen wird [FORMEL] von einer niedrigern Ordnung sein als ρ. Wir werden nun zeigen, daſs unsre Re- sultate auch im letztern Falle ihre Gültigkeit behalten, wenn nur die Ordnungen beider Gröſsen vergleichbar sind. Nehmen wir also an, [FORMEL] sei von derselben Ordnung wie ρμ, wo μ einen endlichen positiven Exponenten bedeutet, also [FORMEL] eine endliche in dem in Rede stehenden Raume nach der Stetigkeit sich ändernde Gröſse, die wir mit B bezeichnen wollen. Es zerfällt also das Integral [FORMEL] in die beiden folgenden [FORMEL] Auf das zweite Integral lassen sich die Schlüsse des vorher- gehenden Artikels unmittelbar anwenden, auf das erste hinge- gen nach einer leichten Umformung. Setzt man nemlich [FORMEL] oder ρ = σm, so wird jenes Integral [FORMEL]

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 24. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/29>, abgerufen am 25.02.2021.