Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.
Ungleichförmige Bewegung des Wassers. Tiefe A des gestauten Wassers für die Strecke O A ergibt sich aus der Betrachtung, dassFig.13. Tab. 55. die Tiefe bei N = 5,5 Fuss, bei B aber nur = 2 + 1/4 . 3,5 = 2,875 Fuss sey, weil wie wir also d y = d x . tang a -- d z. Bei der Bewegung des Wassers in Flussbetten muss aber vonFig. 15. d y diejenige Druckhöhe abgezogen werden, welche zur Uiberwältigung der Widerstände in dem Flussbette nöthig ist. Hierzu ist aber nach §. 209 für die Länge d x eine Druckhöhe [Formel 1] nothwendig. Wir haben demnach die Höhe d y -- d u, welche an die Querschnittsfläche f des Flusses drückt und dadurch dem Elemente f . d x die Beschleunigung d v zusetzt. Setzen wir demnach das Gewicht dieses Elementes = 56,4 f . d x und die Beschleu- nigung, welche die allgemeine Schwerkraft diesem Elemente geben würde = 2 g · dt = 2 g · [Formel 2] , so haben wir nach den allgemeinen Gesetzen der Mechanik die Proporzion: 56,4 f · d x : 2 g · [Formel 3] = 56,4 f (d y -- d u) : d v; daraus folgt [Formel 4] . Bevor wir von dieser Gleichung einen weitern Gebrauch machen, wollen wir ihre Richtigkeit noch in folgenden bekannten Fällen prüfen. Bei der gleichförmigen Bewegung des Wassers in Flüssen ist z = a und v eine beständige Grösse, folglich sowohl d z als d v = 0. Daraus ergibt sich 0 = d x · tang a -- [Formel 5] oder weil tang a = der Höhe h des Gefälles ge- theilt durch die Länge l oder = [Formel 6] ist, so haben wir [Formel 7] , welches mit der §. 209 und 210 angegebenen Gleichung übereinstimmt. -- Wenn kein Widerstand der Wände im Fluss- bette Statt findet, folglich u = 0 ist, so haben wir [Formel 8] = d x · tang a -- d z = d y, mithin [Formel 9] = y, wie es bei der Bewegung des Wassers in Flussbetten ohne Rücksicht auf die Widerstände ge- zeigt wurde. Wir wollen nunmehr aus der oben aufgestellten Gleichung [Formel 10] die krumme Linie für die Ober- fläche des Wassers zu bestimmen suchen. In dieser Gleichung kommen drei veränderliche Grössen x, z und v vor, wovon eine durch den Umstand zu beseitigen ist, dass durch alle Quer- schnitte eine gleiche Wassermenge, sowohl vor als nach dem Einbaue durchfliessen muss, diess gibt b . a . c = b . z . v, woraus [Formel 11] und [Formel 12] folgt. Der Winkel a lässt sich durch den Umstand beseitigen, dass vor dem Einbaue des Wehres das Wasser auf dem Grund- bette F C seine Bewegung mit gleichförmiger Geschwindigkeit c zurückgelegt hat; demnach ist tang [Formel 13] . Setzen wir nun in die obige Gleichung statt v und tang a die gefundenen Werthe, so erhalten wir [Formel 14] . Daraus folgt [Formel 15] . Wird diese Gleichung mit z3 multiplizirt und alle Grössen, die zur Funkzion z gehören, auf eine Seite gebracht, so erhalten wir [Formel 16] Gerstner's Mechanik. Band. II. 43
Ungleichförmige Bewegung des Wassers. Tiefe A des gestauten Wassers für die Strecke O A ergibt sich aus der Betrachtung, dassFig.13. Tab. 55. die Tiefe bei N = 5,5 Fuss, bei B aber nur = 2 + ¼ . 3,5 = 2,875 Fuss sey, weil wie wir also d y = d x . tang α — d z. Bei der Bewegung des Wassers in Flussbetten muss aber vonFig. 15. d y diejenige Druckhöhe abgezogen werden, welche zur Uiberwältigung der Widerstände in dem Flussbette nöthig ist. Hierzu ist aber nach §. 209 für die Länge d x eine Druckhöhe [Formel 1] nothwendig. Wir haben demnach die Höhe d y — d u, welche an die Querschnittsfläche f des Flusses drückt und dadurch dem Elemente f . d x die Beschleunigung d v zusetzt. Setzen wir demnach das Gewicht dieses Elementes = 56,4 f . d x und die Beschleu- nigung, welche die allgemeine Schwerkraft diesem Elemente geben würde = 2 g · dt = 2 g · [Formel 2] , so haben wir nach den allgemeinen Gesetzen der Mechanik die Proporzion: 56,4 f · d x : 2 g · [Formel 3] = 56,4 f (d y — d u) : d v; daraus folgt [Formel 4] . Bevor wir von dieser Gleichung einen weitern Gebrauch machen, wollen wir ihre Richtigkeit noch in folgenden bekannten Fällen prüfen. Bei der gleichförmigen Bewegung des Wassers in Flüssen ist z = a und v eine beständige Grösse, folglich sowohl d z als d v = 0. Daraus ergibt sich 0 = d x · tang α — [Formel 5] oder weil tang α = der Höhe h des Gefälles ge- theilt durch die Länge l oder = [Formel 6] ist, so haben wir [Formel 7] , welches mit der §. 209 und 210 angegebenen Gleichung übereinstimmt. — Wenn kein Widerstand der Wände im Fluss- bette Statt findet, folglich u = 0 ist, so haben wir [Formel 8] = d x · tang α — d z = d y, mithin [Formel 9] = y, wie es bei der Bewegung des Wassers in Flussbetten ohne Rücksicht auf die Widerstände ge- zeigt wurde. Wir wollen nunmehr aus der oben aufgestellten Gleichung [Formel 10] die krumme Linie für die Ober- fläche des Wassers zu bestimmen suchen. In dieser Gleichung kommen drei veränderliche Grössen x, z und v vor, wovon eine durch den Umstand zu beseitigen ist, dass durch alle Quer- schnitte eine gleiche Wassermenge, sowohl vor als nach dem Einbaue durchfliessen muss, diess gibt b . a . c = b . z . v, woraus [Formel 11] und [Formel 12] folgt. Der Winkel α lässt sich durch den Umstand beseitigen, dass vor dem Einbaue des Wehres das Wasser auf dem Grund- bette F C seine Bewegung mit gleichförmiger Geschwindigkeit c zurückgelegt hat; demnach ist tang [Formel 13] . Setzen wir nun in die obige Gleichung statt v und tang α die gefundenen Werthe, so erhalten wir [Formel 14] . Daraus folgt [Formel 15] . Wird diese Gleichung mit z3 multiplizirt und alle Grössen, die zur Funkzion z gehören, auf eine Seite gebracht, so erhalten wir [Formel 16] Gerstner’s Mechanik. Band. II. 43
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Ungleichförmige Bewegung des Wassers.
Tiefe A des gestauten Wassers für die Strecke O A ergibt sich aus der Betrachtung, dass
die Tiefe bei N = 5,5 Fuss, bei B aber nur = 2 + ¼ . 3,5 = 2,875 Fuss sey, weil wie wir
*)
Fig.
13.
Tab.
55.
*) also d y = d x . tang α — d z. Bei der Bewegung des Wassers in Flussbetten muss aber von
d y diejenige Druckhöhe abgezogen werden, welche zur Uiberwältigung der Widerstände in dem
Flussbette nöthig ist. Hierzu ist aber nach §. 209 für die Länge d x eine Druckhöhe
[FORMEL] nothwendig. Wir haben demnach die Höhe d y — d u, welche an
die Querschnittsfläche f des Flusses drückt und dadurch dem Elemente f . d x die Beschleunigung
d v zusetzt. Setzen wir demnach das Gewicht dieses Elementes = 56,4 f . d x und die Beschleu-
nigung, welche die allgemeine Schwerkraft diesem Elemente geben würde = 2 g · dt = 2 g · [FORMEL],
so haben wir nach den allgemeinen Gesetzen der Mechanik die Proporzion:
56,4 f · d x : 2 g · [FORMEL] = 56,4 f (d y — d u) : d v; daraus folgt
[FORMEL].
Bevor wir von dieser Gleichung einen weitern Gebrauch machen, wollen wir ihre Richtigkeit
noch in folgenden bekannten Fällen prüfen. Bei der gleichförmigen Bewegung des Wassers in
Flüssen ist z = a und v eine beständige Grösse, folglich sowohl d z als d v = 0. Daraus ergibt
sich 0 = d x · tang α — [FORMEL] oder weil tang α = der Höhe h des Gefälles ge-
theilt durch die Länge l oder = [FORMEL] ist, so haben wir [FORMEL], welches mit der
§. 209 und 210 angegebenen Gleichung übereinstimmt. — Wenn kein Widerstand der Wände im Fluss-
bette Statt findet, folglich u = 0 ist, so haben wir [FORMEL] = d x · tang α — d z = d y, mithin [FORMEL] = y,
wie es bei der Bewegung des Wassers in Flussbetten ohne Rücksicht auf die Widerstände ge-
zeigt wurde.
Wir wollen nunmehr aus der oben aufgestellten Gleichung
[FORMEL] die krumme Linie für die Ober-
fläche des Wassers zu bestimmen suchen. In dieser Gleichung kommen drei veränderliche
Grössen x, z und v vor, wovon eine durch den Umstand zu beseitigen ist, dass durch alle Quer-
schnitte eine gleiche Wassermenge, sowohl vor als nach dem Einbaue durchfliessen muss, diess gibt
b . a . c = b . z . v, woraus [FORMEL] und [FORMEL] folgt. Der Winkel α lässt
sich durch den Umstand beseitigen, dass vor dem Einbaue des Wehres das Wasser auf dem Grund-
bette F C seine Bewegung mit gleichförmiger Geschwindigkeit c zurückgelegt hat; demnach ist
tang [FORMEL]. Setzen wir nun in die obige Gleichung statt v und tang α die
gefundenen Werthe, so erhalten wir
[FORMEL].
Daraus folgt [FORMEL].
Wird diese Gleichung mit z3 multiplizirt und alle Grössen, die zur Funkzion z gehören, auf eine
Seite gebracht, so erhalten wir
[FORMEL]
Gerstner’s Mechanik. Band. II. 43
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 337. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/355>, abgerufen am 29.04.2024. |
