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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Bestimmung des einfallenden Wasserstrahles.
he 1 Fuss beträgt. Da man in der 2ten Kolumne der folgenden Tabelle bereits die Winkel w für
alle Verhältnisse für [Formel 1] von 1 bis 30, folglich für Räder von 2 bis 60 Fuss im Durch-
messer des Theilrisses berechnet hat, es demnach nur auf die Bestättigung der Rech-
nung ankommen kann, so wollen wir in unserem Beispiele R = 10 a, also [Formel 2] = 0,1
und m = 30 Grad annehmen und den Winkel w näherungsweise bestimmen. Zu die-
ser Absicht sey w = 15° 30Min. und dann w = 15° 40Min.; wir haben also, wenn diese
zwei Werthe für den Winkel w gesetzt werden, folgende 2 hypothetische Gleichungen
[Formel 3] = 0,1 + 1 -- Cos 15° 30Min.
und [Formel 4] = 0,1 + 1 -- Cos 15° 40Min.. Setzt man nun nach
den Sinustafeln die Werthe, so ist nach der ersten Gleichung [Formel 5] = 0,1 + 0,0364
und nach der zweiten Gleichung [Formel 6] = 0,1 + 0,0372. Werden nun diese Glei-
chungen reduzirt, so ergibt sich aus der ersten die hypothetische Gleichung 0,1360 = 0,1364
und aus der zweiten 0,1382 = 0,1372. Aus der ersten Gleichung folgt, wenn das 1te Glied
vom 2ten abgezogen wird, der Fehler + 0,0004 und wenn auf gleiche Art in der 2ten Glei-
chung verfahren wird, so ergibt sich der Fehler -- 0,0010; demnach haben wir nach der
bekannten Regel von 2 falschen Sätzen: der Unterschied der 2 herausgebrachten Fehler
+ 0,0004 + 0,0010 zum Unterschied der angenommenen Hypothesen 15° 40Min. -- 15° 30Min., wie
ein herausgebrachter Fehler 0,0004 zum Fehler der 1ten Hypothese, oder 14 : 10Min. = 4 : 2,9Min.,
also ist w = 15° 30Min. + 2,9Min. = 15° 33Min., so wie er in der Tabelle angeführt wor-
den ist.

Es kommt nun noch darauf an, die übrigen Grössen zu finden, wodurch die Wirkung
des oberschlächtigen Rades nach der Gleichung Seite 418
[Formel 7] zu bemessen ist.

Die 3te Kolumne enthält die Entfernung des Punktes D, wo der Strahl in den
Theilriss einfällt, B D = R Sin w.

Die 4te Kolumne enthält die Höhe des Wasserstandes h über der Mitte der Aus-
flussöffnung.

Die Grösse h wurde = [Formel 8] gefunden, weil aber
tang [Formel 9] ist, so haben wir auch [Formel 10] . Dieser Ausdruck
lässt sich aber allgemeiner auf folgende Art konstruiren : Weil B H = H O = a + z = 1/2 O BFig.
6.
Tab.
61.
ist, so können wir aus H zu O D die parallele Linie H P ziehen, so wird
B P = 1/2 B D = 1/2 R . Sin w seyn; ziehen wir nun auf H P die winkelrechte P Q, so ist
aus der Aehnlichkeit der Dreiecke B H : B P = B P : B Q, oder
a + z : 1/2 R . Sin w = 1/2 R . Sin w : B Q; also B Q = [Formel 11] = h oder der Höhe
des Wasserstandes H K ober der Mitte der Oeffnung.

Bestimmung des einfallenden Wasserstrahles.
he 1 Fuss beträgt. Da man in der 2ten Kolumne der folgenden Tabelle bereits die Winkel w für
alle Verhältnisse für [Formel 1] von 1 bis 30, folglich für Räder von 2 bis 60 Fuss im Durch-
messer des Theilrisses berechnet hat, es demnach nur auf die Bestättigung der Rech-
nung ankommen kann, so wollen wir in unserem Beispiele R = 10 a, also [Formel 2] = 0,1
und μ = 30 Grad annehmen und den Winkel w näherungsweise bestimmen. Zu die-
ser Absicht sey w = 15° 30Min. und dann w = 15° 40Min.; wir haben also, wenn diese
zwei Werthe für den Winkel w gesetzt werden, folgende 2 hypothetische Gleichungen
[Formel 3] = 0,1 + 1 — Cos 15° 30Min.
und [Formel 4] = 0,1 + 1 — Cos 15° 40Min.. Setzt man nun nach
den Sinustafeln die Werthe, so ist nach der ersten Gleichung [Formel 5] = 0,1 + 0,0364
und nach der zweiten Gleichung [Formel 6] = 0,1 + 0,0372. Werden nun diese Glei-
chungen reduzirt, so ergibt sich aus der ersten die hypothetische Gleichung 0,1360 = 0,1364
und aus der zweiten 0,1382 = 0,1372. Aus der ersten Gleichung folgt, wenn das 1te Glied
vom 2ten abgezogen wird, der Fehler + 0,0004 und wenn auf gleiche Art in der 2ten Glei-
chung verfahren wird, so ergibt sich der Fehler — 0,0010; demnach haben wir nach der
bekannten Regel von 2 falschen Sätzen: der Unterschied der 2 herausgebrachten Fehler
+ 0,0004 + 0,0010 zum Unterschied der angenommenen Hypothesen 15° 40Min. — 15° 30Min., wie
ein herausgebrachter Fehler 0,0004 zum Fehler der 1ten Hypothese, oder 14 : 10Min. = 4 : 2,9Min.,
also ist w = 15° 30Min. + 2,9Min. = 15° 33Min., so wie er in der Tabelle angeführt wor-
den ist.

Es kommt nun noch darauf an, die übrigen Grössen zu finden, wodurch die Wirkung
des oberschlächtigen Rades nach der Gleichung Seite 418
[Formel 7] zu bemessen ist.

Die 3te Kolumne enthält die Entfernung des Punktes D, wo der Strahl in den
Theilriss einfällt, B D = R Sin w.

Die 4te Kolumne enthält die Höhe des Wasserstandes h über der Mitte der Aus-
flussöffnung.

Die Grösse h wurde = [Formel 8] gefunden, weil aber
tang [Formel 9] ist, so haben wir auch [Formel 10] . Dieser Ausdruck
lässt sich aber allgemeiner auf folgende Art konstruiren : Weil B H = H O = a + z = ½ O BFig.
6.
Tab.
61.
ist, so können wir aus H zu O D die parallele Linie H P ziehen, so wird
B P = ½ B D = ½ R . Sin w seyn; ziehen wir nun auf H P die winkelrechte P Q, so ist
aus der Aehnlichkeit der Dreiecke B H : B P = B P : B Q, oder
a + z : ½ R . Sin w = ½ R . Sin w : B Q; also B Q = [Formel 11] = h oder der Höhe
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[421/0439] Bestimmung des einfallenden Wasserstrahles. he 1 Fuss beträgt. Da man in der 2ten Kolumne der folgenden Tabelle bereits die Winkel w für alle Verhältnisse für [FORMEL] von 1 bis 30, folglich für Räder von 2 bis 60 Fuss im Durch- messer des Theilrisses berechnet hat, es demnach nur auf die Bestättigung der Rech- nung ankommen kann, so wollen wir in unserem Beispiele R = 10 a, also [FORMEL] = 0,1 und μ = 30 Grad annehmen und den Winkel w näherungsweise bestimmen. Zu die- ser Absicht sey w = 15° 30Min. und dann w = 15° 40Min.; wir haben also, wenn diese zwei Werthe für den Winkel w gesetzt werden, folgende 2 hypothetische Gleichungen [FORMEL] = 0,1 + 1 — Cos 15° 30Min. und [FORMEL] = 0,1 + 1 — Cos 15° 40Min.. Setzt man nun nach den Sinustafeln die Werthe, so ist nach der ersten Gleichung [FORMEL] = 0,1 + 0,0364 und nach der zweiten Gleichung [FORMEL] = 0,1 + 0,0372. Werden nun diese Glei- chungen reduzirt, so ergibt sich aus der ersten die hypothetische Gleichung 0,1360 = 0,1364 und aus der zweiten 0,1382 = 0,1372. Aus der ersten Gleichung folgt, wenn das 1te Glied vom 2ten abgezogen wird, der Fehler + 0,0004 und wenn auf gleiche Art in der 2ten Glei- chung verfahren wird, so ergibt sich der Fehler — 0,0010; demnach haben wir nach der bekannten Regel von 2 falschen Sätzen: der Unterschied der 2 herausgebrachten Fehler + 0,0004 + 0,0010 zum Unterschied der angenommenen Hypothesen 15° 40Min. — 15° 30Min., wie ein herausgebrachter Fehler 0,0004 zum Fehler der 1ten Hypothese, oder 14 : 10Min. = 4 : 2,9Min., also ist w = 15° 30Min. + 2,9Min. = 15° 33Min., so wie er in der Tabelle angeführt wor- den ist. Es kommt nun noch darauf an, die übrigen Grössen zu finden, wodurch die Wirkung des oberschlächtigen Rades nach der Gleichung Seite 418 [FORMEL] zu bemessen ist. Die 3te Kolumne enthält die Entfernung des Punktes D, wo der Strahl in den Theilriss einfällt, B D = R Sin w. Die 4te Kolumne enthält die Höhe des Wasserstandes h über der Mitte der Aus- flussöffnung. Die Grösse h wurde = [FORMEL] gefunden, weil aber tang [FORMEL] ist, so haben wir auch [FORMEL]. Dieser Ausdruck lässt sich aber allgemeiner auf folgende Art konstruiren : Weil B H = H O = a + z = ½ O B ist, so können wir aus H zu O D die parallele Linie H P ziehen, so wird B P = ½ B D = ½ R . Sin w seyn; ziehen wir nun auf H P die winkelrechte P Q, so ist aus der Aehnlichkeit der Dreiecke B H : B P = B P : B Q, oder a + z : ½ R . Sin w = ½ R . Sin w : B Q; also B Q = [FORMEL] = h oder der Höhe des Wasserstandes H K ober der Mitte der Oeffnung. Fig. 6. Tab. 61.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 421. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/439>, abgerufen am 03.05.2024.