Kurbel zu berechnen. Zu diesem Zwecke wollen wir die §. 238 gefundene allgemeine Gleichung für die Bewegung bei einer Kurbel auf eine andere Art ausdrücken.
Den lothrechten Geschwindigkeiten v, v', v'' ...., welche durch die Umdrehungsbe- wegung hervorgebracht wurden, liegt eben so, wie den lothrechten Geschwindigkeiten w, w', w'' . . . ., die zu Anfange der Bewegung schon vorhanden waren, eine ge- meinschaftliche Geschwindigkeit, nämlich die Winkelgeschwindig- keit zum Grunde; alle Lasten Q, Q', Q'' . . . . R sind nämlich an derselben Rad- welle befestigt, und beschreiben sonach in gleichen Zeiten auch gleiche Winkel. Es sey die Winkelgeschwindigkeit, welche durch die beschleunigte Bewegung hervorgebracht wurde, so ist die Geschwindigkeit in der lothrechten Richtung v = a . . Sin ph, ferner v' = a . . Sin
[Formel 1]
, dann v'' = a . . Sin
[Formel 2]
. . . . endlich V = r . *).
Nennen wir ferner o die Winkelgeschwindigkeit, welche bei dem Anfange der Bewegung schon vorhanden war, so erhalten wir für die lothrechte Geschwin- digkeit zu Anfange der Bewegung die Werthe w = a . o . Sin 0 = 0, ferner w' = a . o . Sin
[Formel 11]
, dann w'' = a . o . Sin
[Formel 12]
. . . . endlich W = r . o. Werden diese Werthe in die allgemeine Gleichung substituirt, so erhalten wir K . A . ph = Q . a (1 -- Cos ph) + Q' . a
[Formel 13]
. Nun ist Cos 2 ph = Cos2ph -- Sin2ph = 1 -- 2 Sin2ph, daher Sin2ph =
[Formel 14]
; auf gleiche Art Sin2
[Formel 15]
, eben so Sin2
[Formel 16]
, .... Da aber die Winkel 2 ph,
[Formel 17]
+ 2 ph,
[Formel 18]
+ 2 ph, . . . . von der halben Peripherie auf die ganze Peripherie übertragen, und auf derselben auf gleichen Entfernungen
[Formel 19]
von ein- ander vertheilt sind, so muss auch Cos 2 ph + Cos
[Formel 20]
+ Cos
[Formel 21]
+ .... = 0 seyn. Wir haben nämlich die Lasten auf der ganzen Peripherie gleich vertheilt angenommen, es muss demnach auch die Summe der statischen Momente von der einen Seite um den Schwerpunkt = der Summe der Momente von der andern Seite seyn, oder
*) Wir haben d s = a . d ph = a . . d t; demnach die lothrechten Geschwindigkeiten v =
[Formel 3]
= a . . Sin ph, ferner v' =
[Formel 4]
. Sin
[Formel 5]
= a . . Sin
[Formel 6]
, dann v'' =
[Formel 7]
· Sin
[Formel 8]
= a . . Sin
[Formel 9]
. . . . endlich V =
[Formel 10]
= r . .
Grösste und kleinste senkrechte Geschwindigkeit.
Kurbel zu berechnen. Zu diesem Zwecke wollen wir die §. 238 gefundene allgemeine Gleichung für die Bewegung bei einer Kurbel auf eine andere Art ausdrücken.
Den lothrechten Geschwindigkeiten v, v', v'' ...., welche durch die Umdrehungsbe- wegung hervorgebracht wurden, liegt eben so, wie den lothrechten Geschwindigkeiten w, w', w'' . . . ., die zu Anfange der Bewegung schon vorhanden waren, eine ge- meinschaftliche Geschwindigkeit, nämlich die Winkelgeschwindig- keit zum Grunde; alle Lasten Q, Q', Q'' . . . . R sind nämlich an derselben Rad- welle befestigt, und beschreiben sonach in gleichen Zeiten auch gleiche Winkel. Es sey 𝖂 die Winkelgeschwindigkeit, welche durch die beschleunigte Bewegung hervorgebracht wurde, so ist die Geschwindigkeit in der lothrechten Richtung v = a . 𝖂 . Sin φ, ferner v' = a . 𝖂 . Sin
[Formel 1]
, dann v'' = a . 𝖂 . Sin
[Formel 2]
. . . . endlich V = r . 𝖂 *).
Nennen wir ferner ω die Winkelgeschwindigkeit, welche bei dem Anfange der Bewegung schon vorhanden war, so erhalten wir für die lothrechte Geschwin- digkeit zu Anfange der Bewegung die Werthe w = a . ω . Sin 0 = 0, ferner w' = a . ω . Sin
[Formel 11]
, dann w'' = a . ω . Sin
[Formel 12]
. . . . endlich W = r . ω. Werden diese Werthe in die allgemeine Gleichung substituirt, so erhalten wir K . A . φ = Q . a (1 — Cos φ) + Q' . a
[Formel 13]
. Nun ist Cos 2 φ = Cos2φ — Sin2φ = 1 — 2 Sin2φ, daher Sin2φ =
[Formel 14]
; auf gleiche Art Sin2
[Formel 15]
, eben so Sin2
[Formel 16]
, .... Da aber die Winkel 2 φ,
[Formel 17]
+ 2 φ,
[Formel 18]
+ 2 φ, . . . . von der halben Peripherie auf die ganze Peripherie übertragen, und auf derselben auf gleichen Entfernungen
[Formel 19]
von ein- ander vertheilt sind, so muss auch Cos 2 φ + Cos
[Formel 20]
+ Cos
[Formel 21]
+ .... = 0 seyn. Wir haben nämlich die Lasten auf der ganzen Peripherie gleich vertheilt angenommen, es muss demnach auch die Summe der statischen Momente von der einen Seite um den Schwerpunkt = der Summe der Momente von der andern Seite seyn, oder
*) Wir haben d s = a . d φ = a . 𝖂 . d t; demnach die lothrechten Geschwindigkeiten v =
[Formel 3]
= a . 𝖂 . Sin φ, ferner v' =
[Formel 4]
. Sin
[Formel 5]
= a . 𝖂 . Sin
[Formel 6]
, dann v'' =
[Formel 7]
· Sin
[Formel 8]
= a . 𝖂 . Sin
[Formel 9]
. . . . endlich V =
[Formel 10]
= r . 𝖂.
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[327/0363]
Grösste und kleinste senkrechte Geschwindigkeit.
Kurbel zu berechnen. Zu diesem Zwecke wollen wir die §. 238 gefundene allgemeine
Gleichung für die Bewegung bei einer Kurbel auf eine andere Art ausdrücken.
Den lothrechten Geschwindigkeiten v, v', v'' ...., welche durch die Umdrehungsbe-
wegung hervorgebracht wurden, liegt eben so, wie den lothrechten Geschwindigkeiten
w, w', w'' . . . ., die zu Anfange der Bewegung schon vorhanden waren, eine ge-
meinschaftliche Geschwindigkeit, nämlich die Winkelgeschwindig-
keit zum Grunde; alle Lasten Q, Q', Q'' . . . . R sind nämlich an derselben Rad-
welle befestigt, und beschreiben sonach in gleichen Zeiten auch gleiche Winkel. Es
sey 𝖂 die Winkelgeschwindigkeit, welche durch die beschleunigte Bewegung
hervorgebracht wurde, so ist die Geschwindigkeit in der lothrechten Richtung
v = a . 𝖂 . Sin φ, ferner v' = a . 𝖂 . Sin [FORMEL], dann v'' = a . 𝖂 . Sin [FORMEL] . . . .
endlich V = r . 𝖂 *).
Nennen wir ferner ω die Winkelgeschwindigkeit, welche bei dem Anfange der
Bewegung schon vorhanden war, so erhalten wir für die lothrechte Geschwin-
digkeit zu Anfange der Bewegung die Werthe w = a . ω . Sin 0 = 0, ferner
w' = a . ω . Sin [FORMEL], dann w'' = a . ω . Sin [FORMEL] . . . . endlich W = r . ω. Werden
diese Werthe in die allgemeine Gleichung substituirt, so erhalten wir
K . A . φ = Q . a (1 — Cos φ) + Q' . a [FORMEL].
Nun ist Cos 2 φ = Cos2 φ — Sin2 φ = 1 — 2 Sin2 φ, daher Sin2 φ = [FORMEL]; auf gleiche
Art Sin2 [FORMEL], eben so Sin2 [FORMEL], ....
Da aber die Winkel 2 φ, [FORMEL] + 2 φ, [FORMEL] + 2 φ, . . . . von der halben Peripherie auf
die ganze Peripherie übertragen, und auf derselben auf gleichen Entfernungen [FORMEL] von ein-
ander vertheilt sind, so muss auch Cos 2 φ + Cos [FORMEL] + Cos [FORMEL] + .... = 0
seyn. Wir haben nämlich die Lasten auf der ganzen Peripherie gleich vertheilt
angenommen, es muss demnach auch die Summe der statischen Momente von der einen
Seite um den Schwerpunkt = der Summe der Momente von der andern Seite seyn, oder
*) Wir haben d s = a . d φ = a . 𝖂 . d t; demnach die lothrechten Geschwindigkeiten
v = [FORMEL] = a . 𝖂 . Sin φ, ferner v' = [FORMEL] . Sin [FORMEL] = a . 𝖂 . Sin [FORMEL], dann
v'' = [FORMEL] · Sin [FORMEL] = a . 𝖂 . Sin [FORMEL] . . . . endlich V = [FORMEL] = r . 𝖂.
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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 327. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/363>, abgerufen am 29.04.2024.
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