Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Endlich wenden wir noch das Theorem (7.) auf den inneren Raum
der Röhre an von der Ebene der Mündung bis zu einem Querschnitt in der
Region der ebenen Wellen für die Function Ψ' und
$\Phi = \sin kx$,
(7^b.) $\int\Psi'\frac{d\Phi}{dn}d\omega - \int\Phi\frac{d\Psi'}{dn} = 0$
Am Querschnitte der Röhre wird
$\Psi'\frac{d\Phi}{dx} - \Phi\frac{d\Psi'}{dx} = kB$.
An der Wand der Röhre wird $\frac{d\Psi'}{dn} = 0$, an ihrer Mündung Φ = 0, so daſs
das zweite Integral der Gleichung (7^b.) verschwindet. Im ersten wird an der
Wand der Röhre:
$\frac{d\Phi}{dn} = k\cos kx\cos\beta$,
an der Mündung $\frac{d\Phi}{dn} = -k$. Also haben wir:
(11^h.) $QB + \int\Psi'\cos kx\cos\beta d\omega - \int\overline{\Psi'}d\omega = 0$,
wo das erste Integral über den nicht cylindrischen Theil der Röhrenwand
auszudehnen ist, so weit cosβ sich von Null unterscheidet, das zweite über
die Oeffnung der Röhre.

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Wir haben jetzt in den Gleichungen (11.), (11^a.), (11^d.), (11^f.),
(11^g.), (11^h.) die Werthe der Coefficienten A, B,B, M, M₁ und der
Functionen Ψ' und Ψ″ im freien Raume zurückgeführt auf Integrale, in denen
nur die Werthe vorkommen, welche Ψ', Ψ″ und ihre Differentialquotienten
theils in der Mündung der Röhre selbst, theils an dem nicht cylindrischen
Theile ihrer Wand haben. Wir wollen jetzt die Vereinfachungen dieser Aus-
drücke einführen, welche daraus herflieſsen, daſs die Dimensionen der Mün-
dung und die Länge des nicht cylindrischen Theiles der Röhre unserer Annahme
nach gegen die Wellenlänge verschwindend klein sein sollen. Vernachlässigen
wir Gröſsen von der Ordnung kε gegen 1, so nehmen unsere Gleichungen
(11.), (11^a.) und (11^f.) folgende Gestalt an
(12.) $AQ = \int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega$,