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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
welche der Intensität des tönenden Punktes b entspricht, indem dort Ph unend-
lich wird, wie
,
wollen wir gleich 1 setzen. Der Werth von ist in (9c.) an der er-
schütterten Stelle da der Wand gleichgesetzt worden:
.
Am Grunde der Röhre ist , und in dem Falle, wo der Boden
der Röhre erschüttert wird, von uns in den Gleichungen (15.) und (15a.)
gesetzt worden:
;
wir haben also die Constante B der Gleichung (9c.) mit G zu vertauschen
und im Ausdrucke für Ps statt 2pnt zu schreiben 2pnt -- t,,. Ausserdem ist
in dem Falle unserer Anwendung nicht blos ein einziges Flächenelement da
erschüttert worden, sondern der ganze Boden der Röhre; wir müssen also
über diesen integriren, und erhalten so
(17.)
wo die Integration über den Boden der Röhre auszudehnen ist. Ist nun der
tönende Punkt vom Boden der Röhre nur weit genug entfernt, dass hier ebene
stehende Wellen entstehen können, also Ph hier von der Form ist:
,
so wird aus (17.)
,
,
(17a.) ,
,

.
Nun ist der Werth der Functionen Ps' und Ps" für jeden Punkt b proportional
der in den Gleichungen (10.) bis (16.) vorkommenden Constanten A, deren
Verhältniss zu G für eine bestimmte Röhrenlänge gegeben ist in Gleichung (15.).
Also ist bei wechselnder Röhrenlänge auch f proportional dem Verhältniss .

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 7

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
welche der Intensität des tönenden Punktes b entspricht, indem dort Φ unend-
lich wird, wie
,
wollen wir gleich 1 setzen. Der Werth von ist in (9c.) an der er-
schütterten Stelle da der Wand gleichgesetzt worden:
.
Am Grunde der Röhre ist , und in dem Falle, wo der Boden
der Röhre erschüttert wird, von uns in den Gleichungen (15.) und (15a.)
gesetzt worden:
;
wir haben also die Constante B der Gleichung (9c.) mit G zu vertauschen
und im Ausdrucke für Ψ statt 2πnt zu schreiben 2πnt — τ͵͵. Auſserdem ist
in dem Falle unserer Anwendung nicht blos ein einziges Flächenelement da
erschüttert worden, sondern der ganze Boden der Röhre; wir müssen also
über diesen integriren, und erhalten so
(17.)
wo die Integration über den Boden der Röhre auszudehnen ist. Ist nun der
tönende Punkt vom Boden der Röhre nur weit genug entfernt, daſs hier ebene
stehende Wellen entstehen können, also Φ hier von der Form ist:
,
so wird aus (17.)
,
,
(17a.) ,
,

.
Nun ist der Werth der Functionen Ψ' und Ψ″ für jeden Punkt b proportional
der in den Gleichungen (10.) bis (16.) vorkommenden Constanten A, deren
Verhältniſs zu G für eine bestimmte Röhrenlänge gegeben ist in Gleichung (15.).
Also ist bei wechselnder Röhrenlänge auch f proportional dem Verhältniſs .

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 7
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[49/0059] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. welche der Intensität des tönenden Punktes b entspricht, indem dort Φ unend- lich wird, wie [FORMEL], wollen wir gleich 1 setzen. Der Werth von [FORMEL] ist in (9c.) an der er- schütterten Stelle da der Wand gleichgesetzt worden: [FORMEL]. Am Grunde der Röhre ist [FORMEL], und in dem Falle, wo der Boden der Röhre erschüttert wird, von uns in den Gleichungen (15.) und (15a.) gesetzt worden: [FORMEL]; wir haben also die Constante B der Gleichung (9c.) mit G zu vertauschen und im Ausdrucke für Ψ statt 2πnt zu schreiben 2πnt — τ͵͵. Auſserdem ist in dem Falle unserer Anwendung nicht blos ein einziges Flächenelement da erschüttert worden, sondern der ganze Boden der Röhre; wir müssen also über diesen integriren, und erhalten so (17.) [FORMEL] wo die Integration über den Boden der Röhre auszudehnen ist. Ist nun der tönende Punkt vom Boden der Röhre nur weit genug entfernt, daſs hier ebene stehende Wellen entstehen können, also Φ hier von der Form ist: [FORMEL], so wird aus (17.) [FORMEL], [FORMEL], (17a.) [FORMEL], [FORMEL], [FORMEL]. Nun ist der Werth der Functionen Ψ' und Ψ″ für jeden Punkt b proportional der in den Gleichungen (10.) bis (16.) vorkommenden Constanten A, deren Verhältniſs zu G für eine bestimmte Röhrenlänge gegeben ist in Gleichung (15.). Also ist bei wechselnder Röhrenlänge auch f proportional dem Verhältniſs [FORMEL]. Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 7

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 49. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/59>, abgerufen am 20.04.2024.