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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
von -- x übergeht in
,
erhellt daraus, dass Pi und Pl in einer gegen die Oeffnung der Röhre grossen
Entfernung unendlich klein werden, Ph aber wirklich in jene Form übergeht.
Da ferner in der Fläche der Oeffnung
(21b.) ,
wird
(21e.) .
Da ferner an der Fläche der Oeffnung

und auf Seite der positiven x
,
auf Seite der negativen aber
.
so ist
(21f.) .
Somit sind die gestellten Bedingungen (18a.), (18b.) und (18c.) erfüllt.

Die Form der Röhrenwand wird endlich durch die Gleichung gegeben:
(18d.) .
Da wir die Bedingung gemacht haben, dass, wenn r eine innerhalb des nicht
cylindrischen Theiles der Röhre liegende Entfernung ist, k2r2 gegen 1 zu ver-
nachlässigen sei, können wir entsprechend der zur Gleichung (7d.) gemachten
Bemerkung in dieser Gleichung der Röhrenwand k = 0 setzen, werden dann
aber natürlich auch die Aufgabe nur für solche Werthe von k als gelöst be-
trachten dürfen, für welche diese Bedingung erfüllt ist. Dann ist also für
diesen Zweck in der Nähe der Röhrenmündung zu setzen statt (19b.):
(22.) ,
(20a.) , ,
(21a.), (21b.) , ,
(21d.) .

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
von — x übergeht in
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erhellt daraus, daſs Pi und Pl in einer gegen die Oeffnung der Röhre groſsen
Entfernung unendlich klein werden, Φ aber wirklich in jene Form übergeht.
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wird
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Da ferner an der Fläche der Oeffnung

und auf Seite der positiven x
,
auf Seite der negativen aber
.
so ist
(21f.) .
Somit sind die gestellten Bedingungen (18a.), (18b.) und (18c.) erfüllt.

Die Form der Röhrenwand wird endlich durch die Gleichung gegeben:
(18d.) .
Da wir die Bedingung gemacht haben, daſs, wenn r eine innerhalb des nicht
cylindrischen Theiles der Röhre liegende Entfernung ist, k2r2 gegen 1 zu ver-
nachlässigen sei, können wir entsprechend der zur Gleichung (7d.) gemachten
Bemerkung in dieser Gleichung der Röhrenwand k = 0 setzen, werden dann
aber natürlich auch die Aufgabe nur für solche Werthe von k als gelöst be-
trachten dürfen, für welche diese Bedingung erfüllt ist. Dann ist also für
diesen Zweck in der Nähe der Röhrenmündung zu setzen statt (19b.):
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[55/0065] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. von — x übergeht in [FORMEL], erhellt daraus, daſs Pi und Pl in einer gegen die Oeffnung der Röhre groſsen Entfernung unendlich klein werden, Φ aber wirklich in jene Form übergeht. Da ferner in der Fläche der Oeffnung (21b.) [FORMEL], wird (21e.) [FORMEL]. Da ferner an der Fläche der Oeffnung [FORMEL] und auf Seite der positiven x [FORMEL], auf Seite der negativen aber [FORMEL]. so ist (21f.) [FORMEL]. Somit sind die gestellten Bedingungen (18a.), (18b.) und (18c.) erfüllt. Die Form der Röhrenwand wird endlich durch die Gleichung gegeben: (18d.) [FORMEL]. Da wir die Bedingung gemacht haben, daſs, wenn r eine innerhalb des nicht cylindrischen Theiles der Röhre liegende Entfernung ist, k2r2 gegen 1 zu ver- nachlässigen sei, können wir entsprechend der zur Gleichung (7d.) gemachten Bemerkung in dieser Gleichung der Röhrenwand k = 0 setzen, werden dann aber natürlich auch die Aufgabe nur für solche Werthe von k als gelöst be- trachten dürfen, für welche diese Bedingung erfüllt ist. Dann ist also für diesen Zweck in der Nähe der Röhrenmündung zu setzen statt (19b.): (22.) [FORMEL], (20a.) [FORMEL], [FORMEL], (21a.), (21b.) [FORMEL], [FORMEL], (21d.) [FORMEL].

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 55. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/65>, abgerufen am 18.04.2024.