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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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formationen der Fläche in sich selbst drei beliebige Puncte
derselben mit drei anderen zusammenfallen lassen kann 1).

Will man auf der Fläche selbst eine Massbestimmung haben,
so muss man die Gruppe der Transformationen beschränken,
und dies erreicht man, indem man einen beliebigen Raumpunct
(oder seine Polarebene) festhält. Der Raumpunct sei zunächst
nicht auf der Fläche gelegen. So projicire man die Fläche
von dem Puncte auf eine Ebene, wobei ein Kegelschnitt als
Uebergangscurve auftritt. Auf diesen Kegelschnitt gründe man
in der Ebene eine projectivische Massbestimmung, die man
dann rückwärts auf die Fläche überträgt 2). Dies ist eine eigent-
liche Massbestimmung von constanter Krümmung und man hat
also den Satz:

Auf der Fläche erhält man eine solche Mass-
bestimmung, sowie man einen ausserhalb der
Fläche gelegenen Punct festhält.

Entsprechend findet man 3):

Eine Massbestimmung von verschwindender
Krümmung erhält man auf der Fläche, wenn man
für den festen Punct einen Punct der Fläche selbst
wählt.

Für alle diese Massbestimmungen auf der Fläche sind die
Erzeugenden der Fläche Linien von verschwindender Länge
Der Ausdruck für das Bogenelement auf der Fläche ist also
für die verschiedenen Bestimmungen nur um einen Factor ver-
schieden. Ein absolutes Bogenelement auf der Fläche gibt es
nicht. Wohl aber kann man von dem Winkel sprechen, den
Fortschreitungsrichtungen auf der Fläche mit einander bilden. --

Alle diese Sätze und Betrachtungen können nun ohne
Weiteres für Liniengeometrie benutzt werden. Für den Linien-
raum selbst existirt zunächst keine eigentliche Massbestimmung.
Eine solche erwächst erst, wenn wir einen linearen Complex
fest halten, und zwar erhält sie constante oder verschwindende

1) Diese Verhältnisse ändern sich bei der gew. Massgeometrie; zwei
unendlich ferne Puncte haben für sie freilich eine absolute Invariante. Der
Widerspruch, den man in der Abzählung der linearen Transfor-
mationen der unendlich fernen Fläche in sich selbst hiermit finden
könnte, erledigt sich dadurch, dass die unter ihnen befindlichen Trans-
lationen und Aehnlichkeitstransformationen das Unendlich-Ferne über-
haupt nicht ändern.
2) Vergl. §. 7 des Textes.
3) Vergl. §. 4 des Textes.

formationen der Fläche in sich selbst drei beliebige Puncte
derselben mit drei anderen zusammenfallen lassen kann 1).

Will man auf der Fläche selbst eine Massbestimmung haben,
so muss man die Gruppe der Transformationen beschränken,
und dies erreicht man, indem man einen beliebigen Raumpunct
(oder seine Polarebene) festhält. Der Raumpunct sei zunächst
nicht auf der Fläche gelegen. So projicire man die Fläche
von dem Puncte auf eine Ebene, wobei ein Kegelschnitt als
Uebergangscurve auftritt. Auf diesen Kegelschnitt gründe man
in der Ebene eine projectivische Massbestimmung, die man
dann rückwärts auf die Fläche überträgt 2). Dies ist eine eigent-
liche Massbestimmung von constanter Krümmung und man hat
also den Satz:

Auf der Fläche erhält man eine solche Mass-
bestimmung, sowie man einen ausserhalb der
Fläche gelegenen Punct festhält.

Entsprechend findet man 3):

Eine Massbestimmung von verschwindender
Krümmung erhält man auf der Fläche, wenn man
für den festen Punct einen Punct der Fläche selbst
wählt.

Für alle diese Massbestimmungen auf der Fläche sind die
Erzeugenden der Fläche Linien von verschwindender Länge
Der Ausdruck für das Bogenelement auf der Fläche ist also
für die verschiedenen Bestimmungen nur um einen Factor ver-
schieden. Ein absolutes Bogenelement auf der Fläche gibt es
nicht. Wohl aber kann man von dem Winkel sprechen, den
Fortschreitungsrichtungen auf der Fläche mit einander bilden. —

Alle diese Sätze und Betrachtungen können nun ohne
Weiteres für Liniengeometrie benutzt werden. Für den Linien-
raum selbst existirt zunächst keine eigentliche Massbestimmung.
Eine solche erwächst erst, wenn wir einen linearen Complex
fest halten, und zwar erhält sie constante oder verschwindende

1) Diese Verhältnisse ändern sich bei der gew. Massgeometrie; zwei
unendlich ferne Puncte haben für sie freilich eine absolute Invariante. Der
Widerspruch, den man in der Abzählung der linearen Transfor-
mationen der unendlich fernen Fläche in sich selbst hiermit finden
könnte, erledigt sich dadurch, dass die unter ihnen befindlichen Trans-
lationen und Aehnlichkeitstransformationen das Unendlich-Ferne über-
haupt nicht ändern.
2) Vergl. §. 7 des Textes.
3) Vergl. §. 4 des Textes.
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[46/0054] formationen der Fläche in sich selbst drei beliebige Puncte derselben mit drei anderen zusammenfallen lassen kann 1). Will man auf der Fläche selbst eine Massbestimmung haben, so muss man die Gruppe der Transformationen beschränken, und dies erreicht man, indem man einen beliebigen Raumpunct (oder seine Polarebene) festhält. Der Raumpunct sei zunächst nicht auf der Fläche gelegen. So projicire man die Fläche von dem Puncte auf eine Ebene, wobei ein Kegelschnitt als Uebergangscurve auftritt. Auf diesen Kegelschnitt gründe man in der Ebene eine projectivische Massbestimmung, die man dann rückwärts auf die Fläche überträgt 2). Dies ist eine eigent- liche Massbestimmung von constanter Krümmung und man hat also den Satz: Auf der Fläche erhält man eine solche Mass- bestimmung, sowie man einen ausserhalb der Fläche gelegenen Punct festhält. Entsprechend findet man 3): Eine Massbestimmung von verschwindender Krümmung erhält man auf der Fläche, wenn man für den festen Punct einen Punct der Fläche selbst wählt. Für alle diese Massbestimmungen auf der Fläche sind die Erzeugenden der Fläche Linien von verschwindender Länge Der Ausdruck für das Bogenelement auf der Fläche ist also für die verschiedenen Bestimmungen nur um einen Factor ver- schieden. Ein absolutes Bogenelement auf der Fläche gibt es nicht. Wohl aber kann man von dem Winkel sprechen, den Fortschreitungsrichtungen auf der Fläche mit einander bilden. — Alle diese Sätze und Betrachtungen können nun ohne Weiteres für Liniengeometrie benutzt werden. Für den Linien- raum selbst existirt zunächst keine eigentliche Massbestimmung. Eine solche erwächst erst, wenn wir einen linearen Complex fest halten, und zwar erhält sie constante oder verschwindende 1) Diese Verhältnisse ändern sich bei der gew. Massgeometrie; zwei unendlich ferne Puncte haben für sie freilich eine absolute Invariante. Der Widerspruch, den man in der Abzählung der linearen Transfor- mationen der unendlich fernen Fläche in sich selbst hiermit finden könnte, erledigt sich dadurch, dass die unter ihnen befindlichen Trans- lationen und Aehnlichkeitstransformationen das Unendlich-Ferne über- haupt nicht ändern. 2) Vergl. §. 7 des Textes. 3) Vergl. §. 4 des Textes.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 46. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/54>, abgerufen am 27.04.2024.