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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition.
ist, durchaus die gleiche Eigenschaft, wie c, wie leicht mittelst II zwie-
fältig zu beweisen ist.

Anmerkung zu Th. 7). Daneben mag es noch solche x geben, für
welche zwar

x a nebst x ba x nebst b x
ist, ohne dass doch zugleich
x cc x
wäre. Im allgemeinen lassen sich in der That Gebiete x derart angeben,
welche zu c in einer andern als der durch vorstehende Subsumtion aus-
gedrückten Beziehung stehen, und wird es der Phantasie des Lesers nicht
schwer fallen, sich in obige Figuren solche Gebiete x eingetragen zu
denken, z. B.
links einen über das Zweieck c hinaus-
ragenden oder auch ganz ausserhalb
desselben liegenden, jedoch noch in
den Kreis a sowol als den b ganz
hineinfallenden kleinen Kreis x		rechts einen die Kreise a und b zwar
ganz in sich schliessenden, jedoch von
der Zweieckfläche c noch teilweise
überragten, vielleicht sogar selbst in
das Zweieck c hineinfallenden Kreis x.

Wir mussten die Def. (4) als ein Theorem -- Th. 7) -- hinstellen,
weil dieselbe keine willkürliche Festsetzung mehr den Grundlagen
unsrer Disziplin hinzufügte, sondern auf Grund namentlich der bereits
getroffenen Festsetzung (3), sich als eine notwendig mitgeltende, gleich-
berechtigte Form ebendieser Def. (3) nachweisen liess.

Diese Form ist freilich weniger einfach als die frühere, und es
hätte keinen Wert, die einfachere Fassung der Definition in eine ver-
wickeltere, komplizirtere umzuwandeln, wenn diese nicht durch ihre
Analogie mit den noch fehlenden, den ausstehenden beiden Definitionen
uns das Material zu interessanten Vergleichen lieferte.

Inzwischen verlohnt es noch, zu sehen, dass und wie man von
Def. (4) zur Def. (3) auch zurückgelangen kann.

Ich will dies nur für die Sätze links vom Mittelstriche zeigen.
Wir mögen die Def. (4x) auch so in Worte fassen: Die Redensart
"c sei in a b enthalten", m. a. W. die Subsumtion "c a b" heisst:
jedes in c enthaltene x ist auch in a und in b enthalten.

Da nach I c selbst ein solches x ist, muss nun die Annahme
c a b auch die beiden Subsumtionen c a und c b nach sich
ziehen, womit (3x)'' gewonnen ist.

Bleibt nur noch das Umgekehrte zu zeigen, d. h. (3x)' abzuleiten.

Sind die Voraussetzungen c a und c b gleichzeitig erfüllt, so
muss nach der erstern jedes in c enthaltene x (für welches also x c
ist) nach II auch in a enthalten sein (für dasselbe auch x a sein).
Ebenso muss nach der zweiten Voraussetzung jedes in c enthaltene x

§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition.
ist, durchaus die gleiche Eigenschaft, wie c, wie leicht mittelst II zwie-
fältig zu beweisen ist.

Anmerkung zu Th. 7). Daneben mag es noch solche x geben, für
welche zwar

x ⋹ a nebst x ⋹ ba ⋹ x nebst b ⋹ x
ist, ohne dass doch zugleich
x ⋹ cc ⋹ x
wäre. Im allgemeinen lassen sich in der That Gebiete x derart angeben,
welche zu c in einer andern als der durch vorstehende Subsumtion aus-
gedrückten Beziehung stehen, und wird es der Phantasie des Lesers nicht
schwer fallen, sich in obige Figuren solche Gebiete x eingetragen zu
denken, z. B.
links einen über das Zweieck c hinaus-
ragenden oder auch ganz ausserhalb
desselben liegenden, jedoch noch in
den Kreis a sowol als den b ganz
hineinfallenden kleinen Kreis x		rechts einen die Kreise a und b zwar
ganz in sich schliessenden, jedoch von
der Zweieckfläche c noch teilweise
überragten, vielleicht sogar selbst in
das Zweieck c hineinfallenden Kreis x.

Wir mussten die Def. (4) als ein Theorem — Th. 7) — hinstellen,
weil dieselbe keine willkürliche Festsetzung mehr den Grundlagen
unsrer Disziplin hinzufügte, sondern auf Grund namentlich der bereits
getroffenen Festsetzung (3), sich als eine notwendig mitgeltende, gleich-
berechtigte Form ebendieser Def. (3) nachweisen liess.

Diese Form ist freilich weniger einfach als die frühere, und es
hätte keinen Wert, die einfachere Fassung der Definition in eine ver-
wickeltere, komplizirtere umzuwandeln, wenn diese nicht durch ihre
Analogie mit den noch fehlenden, den ausstehenden beiden Definitionen
uns das Material zu interessanten Vergleichen lieferte.

Inzwischen verlohnt es noch, zu sehen, dass und wie man von
Def. (4) zur Def. (3) auch zurückgelangen kann.

Ich will dies nur für die Sätze links vom Mittelstriche zeigen.
Wir mögen die Def. (4×) auch so in Worte fassen: Die Redensart
„c sei in a b enthalten“, m. a. W. die Subsumtion „c ⋹ a b“ heisst:
jedes in c enthaltene x ist auch in a und in b enthalten.

Da nach I c selbst ein solches x ist, muss nun die Annahme
c ⋹ a b auch die beiden Subsumtionen c ⋹ a und c ⋹ b nach sich
ziehen, womit (3×)'' gewonnen ist.

Bleibt nur noch das Umgekehrte zu zeigen, d. h. (3×)' abzuleiten.

Sind die Voraussetzungen c ⋹ a und c ⋹ b gleichzeitig erfüllt, so
muss nach der erstern jedes in c enthaltene x (für welches also x ⋹ c
ist) nach II auch in a enthalten sein (für dasselbe auch x ⋹ a sein).
Ebenso muss nach der zweiten Voraussetzung jedes in c enthaltene x

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[203/0223] § 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition. ist, durchaus die gleiche Eigenschaft, wie c, wie leicht mittelst II zwie- fältig zu beweisen ist. Anmerkung zu Th. 7). Daneben mag es noch solche x geben, für welche zwar x ⋹ a nebst x ⋹ b a ⋹ x nebst b ⋹ x ist, ohne dass doch zugleich x ⋹ c c ⋹ x wäre. Im allgemeinen lassen sich in der That Gebiete x derart angeben, welche zu c in einer andern als der durch vorstehende Subsumtion aus- gedrückten Beziehung stehen, und wird es der Phantasie des Lesers nicht schwer fallen, sich in obige Figuren solche Gebiete x eingetragen zu denken, z. B. links einen über das Zweieck c hinaus- ragenden oder auch ganz ausserhalb desselben liegenden, jedoch noch in den Kreis a sowol als den b ganz hineinfallenden kleinen Kreis x rechts einen die Kreise a und b zwar ganz in sich schliessenden, jedoch von der Zweieckfläche c noch teilweise überragten, vielleicht sogar selbst in das Zweieck c hineinfallenden Kreis x. Wir mussten die Def. (4) als ein Theorem — Th. 7) — hinstellen, weil dieselbe keine willkürliche Festsetzung mehr den Grundlagen unsrer Disziplin hinzufügte, sondern auf Grund namentlich der bereits getroffenen Festsetzung (3), sich als eine notwendig mitgeltende, gleich- berechtigte Form ebendieser Def. (3) nachweisen liess. Diese Form ist freilich weniger einfach als die frühere, und es hätte keinen Wert, die einfachere Fassung der Definition in eine ver- wickeltere, komplizirtere umzuwandeln, wenn diese nicht durch ihre Analogie mit den noch fehlenden, den ausstehenden beiden Definitionen uns das Material zu interessanten Vergleichen lieferte. Inzwischen verlohnt es noch, zu sehen, dass und wie man von Def. (4) zur Def. (3) auch zurückgelangen kann. Ich will dies nur für die Sätze links vom Mittelstriche zeigen. Wir mögen die Def. (4×) auch so in Worte fassen: Die Redensart „c sei in a b enthalten“, m. a. W. die Subsumtion „c ⋹ a b“ heisst: jedes in c enthaltene x ist auch in a und in b enthalten. Da nach I c selbst ein solches x ist, muss nun die Annahme c ⋹ a b auch die beiden Subsumtionen c ⋹ a und c ⋹ b nach sich ziehen, womit (3×)'' gewonnen ist. Bleibt nur noch das Umgekehrte zu zeigen, d. h. (3×)' abzuleiten. Sind die Voraussetzungen c ⋹ a und c ⋹ b gleichzeitig erfüllt, so muss nach der erstern jedes in c enthaltene x (für welches also x ⋹ c ist) nach II auch in a enthalten sein (für dasselbe auch x ⋹ a sein). Ebenso muss nach der zweiten Voraussetzung jedes in c enthaltene x

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 203. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/223>, abgerufen am 27.04.2024.