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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Siebente Vorlesung.
x = a b c + a b d + a c d +
+ (a b + a c + a d + b c + b d + c d) (a + b c d).
Multiplizirt man hier vollends aus, so gehen auch noch die ersten drei
Terme von x in dem Ergebnisse ein, und entsteht:
x = a b + a c + a d + b c d
als das gesuchte Ergebniss.

Ganz genau dual entsprechend kann man auch jeden Ausdruck der
gedachten Art (der mithin Ergebniss der Verknüpfung von lauter ein-
fachen Symbolen mittelst identischer Multiplikationen und Additionen
ist) "zerfällen in seine letzten Faktoren", ("ultimate factors" -- von
Peirce auch geradezu als Primfaktoren bezeichnet), d. h. in solche
Faktoren, welche nur Summen aus irgendwelchen von den gegebenen
einfachen Symbolen sind, mithin kein Produkt mehr zum Summan-
den enthalten.

Man scheide hier gemeinsame Faktoren, soweit solche ersichtlich
sind, jeweils aus, und vereinige die dann noch übrig bleibenden Glie-
der successive nach dem dualen Gegenstück der Multiplikationsregel
für Polynome, d. h. gemäss dem Th. 28+), indem man jeweils jeden
Faktor des einen Gliedes um jeden Faktor des andern vermehrt und
die sich ergebenden Einzelsummen schliesslich miteinander multiplizirt
(ohne Ausmultipliziren sie zu einem Produkte vereinigt, ihre Multipli-
kation "blos andeutend").

Auf diese Weise umgeformt wird z. B., wie leicht zu sehen, unser
letzter Ausdruck:
x = (a + b) (a + c) (a + d) (b + c + d).
Ebenso würde ein Ausdruck y = x + e sich nun darstellen als:
y = (a + b + e) (a + c + e) (a + d + e) (b + c + d + e).

Da jedoch die Anwendung des dualen Gegenstücks 28+) der Multipli-
kationsregel für Polynome dem Mathematiker nicht geläufig ist, so werden
wir später [unter Th. 36), Zusatz 3] ein anderes Mittel angeben, um ohne
jenes denselben Zweck zu erreichen -- ein Zweck übrigens, dessen Ver-
wirklichung ohnehin nur selten als vorteilhaft oder wünschenswert erschei-
nen möchte. --

Zusatz 2 zu Th. 28) [und 30)].

Ist eine "reduzirte" Summe gleich 1, d. h. eine Summe, deren Glie-
der unter sich disjunkt sind, so ist die Negation irgend eines Gliedes
dieser Summe allemal die Summe ihrer übrigen Glieder (ohne das ge-
nannte); ebenso ist -- noch allgemeiner -- die Negation irgend eines
Aggregates von Gliedern, hervorgehoben aus dieser Summe, leicht angebbar
in Gestalt des Aggregates ihrer übrig bleibenden Glieder.

Siebente Vorlesung.
x = a b c + a b d + a c d +
+ (a b + a c + a d + b c + b d + c d) (a + b c d).
Multiplizirt man hier vollends aus, so gehen auch noch die ersten drei
Terme von x in dem Ergebnisse ein, und entsteht:
x = a b + a c + a d + b c d
als das gesuchte Ergebniss.

Ganz genau dual entsprechend kann man auch jeden Ausdruck der
gedachten Art (der mithin Ergebniss der Verknüpfung von lauter ein-
fachen Symbolen mittelst identischer Multiplikationen und Additionen
ist) „zerfällen in seine letzten Faktoren“, („ultimate factors“ — von
Peirce auch geradezu als Primfaktoren bezeichnet), d. h. in solche
Faktoren, welche nur Summen aus irgendwelchen von den gegebenen
einfachen Symbolen sind, mithin kein Produkt mehr zum Summan-
den enthalten.

Man scheide hier gemeinsame Faktoren, soweit solche ersichtlich
sind, jeweils aus, und vereinige die dann noch übrig bleibenden Glie-
der successive nach dem dualen Gegenstück der Multiplikationsregel
für Polynome, d. h. gemäss dem Th. 28+), indem man jeweils jeden
Faktor des einen Gliedes um jeden Faktor des andern vermehrt und
die sich ergebenden Einzelsummen schliesslich miteinander multiplizirt
(ohne Ausmultipliziren sie zu einem Produkte vereinigt, ihre Multipli-
kation „blos andeutend“).

Auf diese Weise umgeformt wird z. B., wie leicht zu sehen, unser
letzter Ausdruck:
x = (a + b) (a + c) (a + d) (b + c + d).
Ebenso würde ein Ausdruck y = x + e sich nun darstellen als:
y = (a + b + e) (a + c + e) (a + d + e) (b + c + d + e).

Da jedoch die Anwendung des dualen Gegenstücks 28+) der Multipli-
kationsregel für Polynome dem Mathematiker nicht geläufig ist, so werden
wir später [unter Th. 36), Zusatz 3] ein anderes Mittel angeben, um ohne
jenes denselben Zweck zu erreichen — ein Zweck übrigens, dessen Ver-
wirklichung ohnehin nur selten als vorteilhaft oder wünschenswert erschei-
nen möchte. —

Zusatz 2 zu Th. 28) [und 30)].

Ist eine „reduzirte“ Summe gleich 1, d. h. eine Summe, deren Glie-
der unter sich disjunkt sind, so ist die Negation irgend eines Gliedes
dieser Summe allemal die Summe ihrer übrigen Glieder (ohne das ge-
nannte); ebenso ist — noch allgemeiner — die Negation irgend eines
Aggregates von Gliedern, hervorgehoben aus dieser Summe, leicht angebbar
in Gestalt des Aggregates ihrer übrig bleibenden Glieder.

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[314/0334] Siebente Vorlesung. x = a b c + a b d + a c d + + (a b + a c + a d + b c + b d + c d) (a + b c d). Multiplizirt man hier vollends aus, so gehen auch noch die ersten drei Terme von x in dem Ergebnisse ein, und entsteht: x = a b + a c + a d + b c d als das gesuchte Ergebniss. Ganz genau dual entsprechend kann man auch jeden Ausdruck der gedachten Art (der mithin Ergebniss der Verknüpfung von lauter ein- fachen Symbolen mittelst identischer Multiplikationen und Additionen ist) „zerfällen in seine letzten Faktoren“, („ultimate factors“ — von Peirce auch geradezu als Primfaktoren bezeichnet), d. h. in solche Faktoren, welche nur Summen aus irgendwelchen von den gegebenen einfachen Symbolen sind, mithin kein Produkt mehr zum Summan- den enthalten. Man scheide hier gemeinsame Faktoren, soweit solche ersichtlich sind, jeweils aus, und vereinige die dann noch übrig bleibenden Glie- der successive nach dem dualen Gegenstück der Multiplikationsregel für Polynome, d. h. gemäss dem Th. 28+), indem man jeweils jeden Faktor des einen Gliedes um jeden Faktor des andern vermehrt und die sich ergebenden Einzelsummen schliesslich miteinander multiplizirt (ohne Ausmultipliziren sie zu einem Produkte vereinigt, ihre Multipli- kation „blos andeutend“). Auf diese Weise umgeformt wird z. B., wie leicht zu sehen, unser letzter Ausdruck: x = (a + b) (a + c) (a + d) (b + c + d). Ebenso würde ein Ausdruck y = x + e sich nun darstellen als: y = (a + b + e) (a + c + e) (a + d + e) (b + c + d + e). Da jedoch die Anwendung des dualen Gegenstücks 28+) der Multipli- kationsregel für Polynome dem Mathematiker nicht geläufig ist, so werden wir später [unter Th. 36), Zusatz 3] ein anderes Mittel angeben, um ohne jenes denselben Zweck zu erreichen — ein Zweck übrigens, dessen Ver- wirklichung ohnehin nur selten als vorteilhaft oder wünschenswert erschei- nen möchte. — Zusatz 2 zu Th. 28) [und 30)]. Ist eine „reduzirte“ Summe gleich 1, d. h. eine Summe, deren Glie- der unter sich disjunkt sind, so ist die Negation irgend eines Gliedes dieser Summe allemal die Summe ihrer übrigen Glieder (ohne das ge- nannte); ebenso ist — noch allgemeiner — die Negation irgend eines Aggregates von Gliedern, hervorgehoben aus dieser Summe, leicht angebbar in Gestalt des Aggregates ihrer übrig bleibenden Glieder.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 314. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/334>, abgerufen am 26.04.2024.