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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 22. Auflösung nach mehreren Unbekannten.
wendig auflösbar (also: welche Werte auch immer unter y und x verstan-
den werden mögen; es bleiben somit x und y arbiträr, und lässt sich durch
Auflösung der Gleichung R (x, y, z) = 0 nach z nunmehr dieses durch die
beliebigen x und y ausdrücken).

Wir mögen hienach als

Zusatz 3 zu Th. 50) den Satz registriren: Auch nach jedem System
von Unbekannten kann jedes System von Subsumtionen und Gleichungen
bequem aufgelöst werden, sobald dieselben nur überhaupt zulässig und
miteinander verträglich sind, was daran zu erkennen, dass die Resul-
tante der Elimination dieser Unbekannten erfüllt ist.

Sobald es nur Wertsysteme der Unbekannten gibt, welche ein-
gesetzt in die Propositionen des Systems dieselben erfüllen, sind solche
auch immer leicht vollständig aufzufinden.

Für die allgemeinste Gleichung mit zwei Unbekannten -- a) dieses
Paragraphen wollen wir die Auflösung nach x, y wirklich ausführen.
Dies lässt sich auf zwei Arten bewerkstelligen. Unter Voraussetzung,
dass die Resultante der Elimination von x und y:
a b c d = 0
erfüllt sei, kann erst y eliminirt und aus der Resultante g') das x be-
rechnet werden, hernach aber y aus g); oder umgekehrt mittelst b')
und b). Ersteres gibt:
m) x = c d u1 + (a1 + b1) u, x1 = (c1 + d1) u1 + a b u
und dies in g) eingesetzt:
{(a + d1) c u1 + (b1 + c) a u} y + {(b + c1) d u1 + (a1 + d) b u} y1 = 0
woraus sich endlich berechnet:

m')y = {(b + c1) d u1 + (a1 + d) b u} v1 + {(a1 d + c1) u1 + (b c1 + a1) u} v,
y1 = {(b1 c + d1) u1 + (a d1 + b1) u} v1 + {(a + d1) c u1 + (b1 + c) a u} v.
Letzteres gibt:
n) y = b d v1 + (a1 + c1) v, y1 = (b1 + d1) v1 + a c v,
was in b) eingesetzt liefert:
{(a + d1) b v1 + (b + c1) a v} x + {(b1 + c) d v1 + (a1 + d) c v} x1 = 0
und aufgelöst:
n')x = {(b1 + c) d v1 + (a1 + d) c v} u1 + {(a1 d + b1) v1 + (b1 c + a1) v} u,
x1 = {(b c1 + d1) v1 + (a d1 + c1) v} u1 + {(a + d1) b v1 + (b + c1) a v} u.

Die Wurzeln x, y werden hienach durch die Ausdrücke m, m') oder
nach Belieben auch n, n') vollständig oder in allgemeinster Weise dar-
gestellt, wobei u, v jedes denkbare Gebietepaar vorzustellen haben.

§ 22. Auflösung nach mehreren Unbekannten.
wendig auflösbar (also: welche Werte auch immer unter y und x verstan-
den werden mögen; es bleiben somit x und y arbiträr, und lässt sich durch
Auflösung der Gleichung R (x, y, z) = 0 nach z nunmehr dieses durch die
beliebigen x und y ausdrücken).

Wir mögen hienach als

Zusatz 3 zu Th. 50) den Satz registriren: Auch nach jedem System
von Unbekannten kann jedes System von Subsumtionen und Gleichungen
bequem aufgelöst werden, sobald dieselben nur überhaupt zulässig und
miteinander verträglich sind, was daran zu erkennen, dass die Resul-
tante der Elimination dieser Unbekannten erfüllt ist.

Sobald es nur Wertsysteme der Unbekannten gibt, welche ein-
gesetzt in die Propositionen des Systems dieselben erfüllen, sind solche
auch immer leicht vollständig aufzufinden.

Für die allgemeinste Gleichung mit zwei Unbekannten — α) dieses
Paragraphen wollen wir die Auflösung nach x, y wirklich ausführen.
Dies lässt sich auf zwei Arten bewerkstelligen. Unter Voraussetzung,
dass die Resultante der Elimination von x und y:
a b c d = 0
erfüllt sei, kann erst y eliminirt und aus der Resultante γ') das x be-
rechnet werden, hernach aber y aus γ); oder umgekehrt mittelst β')
und β). Ersteres gibt:
μ) x = c d u1 + (a1 + b1) u, x1 = (c1 + d1) u1 + a b u
und dies in γ) eingesetzt:
{(a + d1) c u1 + (b1 + c) a u} y + {(b + c1) d u1 + (a1 + d) b u} y1 = 0
woraus sich endlich berechnet:

μ')y = {(b + c1) d u1 + (a1 + d) b u} v1 + {(a1 d + c1) u1 + (b c1 + a1) u} v,
y1 = {(b1 c + d1) u1 + (a d1 + b1) u} v1 + {(a + d1) c u1 + (b1 + c) a u} v.
Letzteres gibt:
ν) y = b d v1 + (a1 + c1) v, y1 = (b1 + d1) v1 + a c v,
was in β) eingesetzt liefert:
{(a + d1) b v1 + (b + c1) a v} x + {(b1 + c) d v1 + (a1 + d) c v} x1 = 0
und aufgelöst:
ν')x = {(b1 + c) d v1 + (a1 + d) c v} u1 + {(a1 d + b1) v1 + (b1 c + a1) v} u,
x1 = {(b c1 + d1) v1 + (a d1 + c1) v} u1 + {(a + d1) b v1 + (b + c1) a v} u.

Die Wurzeln x, y werden hienach durch die Ausdrücke μ, μ') oder
nach Belieben auch ν, ν') vollständig oder in allgemeinster Weise dar-
gestellt, wobei u, v jedes denkbare Gebietepaar vorzustellen haben.

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[475/0495] § 22. Auflösung nach mehreren Unbekannten. wendig auflösbar (also: welche Werte auch immer unter y und x verstan- den werden mögen; es bleiben somit x und y arbiträr, und lässt sich durch Auflösung der Gleichung R (x, y, z) = 0 nach z nunmehr dieses durch die beliebigen x und y ausdrücken). Wir mögen hienach als Zusatz 3 zu Th. 50) den Satz registriren: Auch nach jedem System von Unbekannten kann jedes System von Subsumtionen und Gleichungen bequem aufgelöst werden, sobald dieselben nur überhaupt zulässig und miteinander verträglich sind, was daran zu erkennen, dass die Resul- tante der Elimination dieser Unbekannten erfüllt ist. Sobald es nur Wertsysteme der Unbekannten gibt, welche ein- gesetzt in die Propositionen des Systems dieselben erfüllen, sind solche auch immer leicht vollständig aufzufinden. Für die allgemeinste Gleichung mit zwei Unbekannten — α) dieses Paragraphen wollen wir die Auflösung nach x, y wirklich ausführen. Dies lässt sich auf zwei Arten bewerkstelligen. Unter Voraussetzung, dass die Resultante der Elimination von x und y: a b c d = 0 erfüllt sei, kann erst y eliminirt und aus der Resultante γ') das x be- rechnet werden, hernach aber y aus γ); oder umgekehrt mittelst β') und β). Ersteres gibt: μ) x = c d u1 + (a1 + b1) u, x1 = (c1 + d1) u1 + a b u und dies in γ) eingesetzt: {(a + d1) c u1 + (b1 + c) a u} y + {(b + c1) d u1 + (a1 + d) b u} y1 = 0 woraus sich endlich berechnet: μ')y = {(b + c1) d u1 + (a1 + d) b u} v1 + {(a1 d + c1) u1 + (b c1 + a1) u} v, y1 = {(b1 c + d1) u1 + (a d1 + b1) u} v1 + {(a + d1) c u1 + (b1 + c) a u} v. Letzteres gibt: ν) y = b d v1 + (a1 + c1) v, y1 = (b1 + d1) v1 + a c v, was in β) eingesetzt liefert: {(a + d1) b v1 + (b + c1) a v} x + {(b1 + c) d v1 + (a1 + d) c v} x1 = 0 und aufgelöst: ν')x = {(b1 + c) d v1 + (a1 + d) c v} u1 + {(a1 d + b1) v1 + (b1 c + a1) v} u, x1 = {(b c1 + d1) v1 + (a d1 + c1) v} u1 + {(a + d1) b v1 + (b + c1) a v} u. Die Wurzeln x, y werden hienach durch die Ausdrücke μ, μ') oder nach Belieben auch ν, ν') vollständig oder in allgemeinster Weise dar- gestellt, wobei u, v jedes denkbare Gebietepaar vorzustellen haben.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 475. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/495>, abgerufen am 30.04.2024.