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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 23. Die Subtraktion als Exception.

Z. B. Der europäische ohne den russischen Handel ist der europäische
Handel ohne den russischen Handel. Die geflügelten Tiere mit Ausnahme
der Insekten sind die geflügelten Tiere mit Ausnahme der geflügelten In-
sekten und vice versan. Etc.

Der Beweis des Satzes ergibt sich am einfachsten, indem man
die beiden Seiten der Formel nach dem Schema k) evaluirt. In der
That hat die linke Seite derselben die Bedeutung a (b -- c) = a b c1
mit der Valenzbedingung b1 c = 0; und die rechte Seite der Formel
hat den Wert:
a b -- a c = a b (a c)1 = a b (a1 + c1) = a b c1
mit der Valenzbedingung
(a b)1 a c = (a1 + b1) a c = a b1 c = 0.

Unter der Voraussetzung also, dass die Ausdrücke zu beiden Seiten
der Formel nur überhaupt einen Sinn haben -- eine Voraussetzung,
die man füglich als eine "selbstverständliche" bezeichnen kann -- werden
diese beiderseitigen Ausdrücke das Nämliche (nämlich a b c1) bedeuten
und ist die Gültigkeit der Formel unanfechtbar. Bedingung dafür ist
die vereinigte Gleichung der beiderseitigen Valenzbedingungen, welche
im vorliegenden Falle aber auf die erste, die linkseitige Valenz-
bedingung sich reduzirt, indem diese, nämlich b1 c = 0, schon von
selber auch die andre a b1 c = 0 zur Folge hat.

Immerhin ist nicht zu übersehen, dass die Valenzbedingungen für die
beiden Seiten der Gleichung t) verschiedene sind, dass die linke Seite, um
einen Sinn zu haben, mehr verlangte, als die rechte. Man kann daher
durch unbedachte Anwendung des Satzes in Fehler verfallen, und es ist
z. B. aa -- a oder a · a -- a · 1 nicht = a (a -- 1), weil die Valenzbedingung
für die Differenz a -- 1, das wäre a1 = 0, im allgemeinen nicht erfüllt ist,
während andrerseits a a -- a sehr wohl einen Sinn, nämlich den Wert 0 hat.

Im übrigen kann auf Grund von t) der Satz des Widerspruchs oder
die Formel 30x) sub x) a (1 -- a) = 0 jetzt aufgelöst werden in a -- a a = 0
und erscheint er darnach als eine blosse Umschreibung des Tautologie-
gesetzes 14x) a a = a -- eine Auffassung, welche besonders Boole betonte.

Für die Wortsprache ist die Ausserachtlassung der Verschiedenartig-
keit jener beiderseitigen Valenzbedingungen nicht verfänglich und zwar wegen
der oben erwähnten Licenz, deren sie sich beim Statuiren von Ausnahmen
erfreut. Ein Beispiel wird dies deutlich machen.

Es möge a = betrunken, b = Heide, c = Grönländer bedeuten.
Nehmen wir an, dass es betrunkene Grönländer gar nicht gibt, sintemal
man auf Grönland nur in Leberthran kneipt, so wird der Satz an-
zuerkennen sein, dass die betrunkenen Heiden ohne die Grönländer einerlei
sind mit den betrunkenen Heiden ohne die betrunkenen Grönländer, das
ist a b -- a c, welches wegen a c = 0 sich in a b zusammenzieht! Keines-
wegs dürfte aber a (b -- c) hiefür geschrieben werden, in Anbetracht, dass
nicht alle Grönländer Heiden zu sein brauchen oder wirklich sind, man

§ 23. Die Subtraktion als Exception.

Z. B. Der europäische ohne den russischen Handel ist der europäische
Handel ohne den russischen Handel. Die geflügelten Tiere mit Ausnahme
der Insekten sind die geflügelten Tiere mit Ausnahme der geflügelten In-
sekten und vice versā. Etc.

Der Beweis des Satzes ergibt sich am einfachsten, indem man
die beiden Seiten der Formel nach dem Schema ϰ) evaluirt. In der
That hat die linke Seite derselben die Bedeutung a (b — c) = a b c1
mit der Valenzbedingung b1 c = 0; und die rechte Seite der Formel
hat den Wert:
a b — a c = a b (a c)1 = a b (a1 + c1) = a b c1
mit der Valenzbedingung
(a b)1 a c = (a1 + b1) a c = a b1 c = 0.

Unter der Voraussetzung also, dass die Ausdrücke zu beiden Seiten
der Formel nur überhaupt einen Sinn haben — eine Voraussetzung,
die man füglich als eine „selbstverständliche“ bezeichnen kann — werden
diese beiderseitigen Ausdrücke das Nämliche (nämlich a b c1) bedeuten
und ist die Gültigkeit der Formel unanfechtbar. Bedingung dafür ist
die vereinigte Gleichung der beiderseitigen Valenzbedingungen, welche
im vorliegenden Falle aber auf die erste, die linkseitige Valenz-
bedingung sich reduzirt, indem diese, nämlich b1 c = 0, schon von
selber auch die andre a b1 c = 0 zur Folge hat.

Immerhin ist nicht zu übersehen, dass die Valenzbedingungen für die
beiden Seiten der Gleichung τ) verschiedene sind, dass die linke Seite, um
einen Sinn zu haben, mehr verlangte, als die rechte. Man kann daher
durch unbedachte Anwendung des Satzes in Fehler verfallen, und es ist
z. B. aa — a oder a · a — a · 1 nicht = a (a — 1), weil die Valenzbedingung
für die Differenz a — 1, das wäre a1 = 0, im allgemeinen nicht erfüllt ist,
während andrerseits a a — a sehr wohl einen Sinn, nämlich den Wert 0 hat.

Im übrigen kann auf Grund von τ) der Satz des Widerspruchs oder
die Formel 30×) sub ξ) a (1 — a) = 0 jetzt aufgelöst werden in a — a a = 0
und erscheint er darnach als eine blosse Umschreibung des Tautologie-
gesetzes 14×) a a = a — eine Auffassung, welche besonders Boole betonte.

Für die Wortsprache ist die Ausserachtlassung der Verschiedenartig-
keit jener beiderseitigen Valenzbedingungen nicht verfänglich und zwar wegen
der oben erwähnten Licenz, deren sie sich beim Statuiren von Ausnahmen
erfreut. Ein Beispiel wird dies deutlich machen.

Es möge a = betrunken, b = Heide, c = Grönländer bedeuten.
Nehmen wir an, dass es betrunkene Grönländer gar nicht gibt, sintemal
man auf Grönland nur in Leberthran kneipt, so wird der Satz an-
zuerkennen sein, dass die betrunkenen Heiden ohne die Grönländer einerlei
sind mit den betrunkenen Heiden ohne die betrunkenen Grönländer, das
ist a b — a c, welches wegen a c = 0 sich in a b zusammenzieht! Keines-
wegs dürfte aber a (b — c) hiefür geschrieben werden, in Anbetracht, dass
nicht alle Grönländer Heiden zu sein brauchen oder wirklich sind, man

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[491/0511] § 23. Die Subtraktion als Exception. Z. B. Der europäische ohne den russischen Handel ist der europäische Handel ohne den russischen Handel. Die geflügelten Tiere mit Ausnahme der Insekten sind die geflügelten Tiere mit Ausnahme der geflügelten In- sekten und vice versā. Etc. Der Beweis des Satzes ergibt sich am einfachsten, indem man die beiden Seiten der Formel nach dem Schema ϰ) evaluirt. In der That hat die linke Seite derselben die Bedeutung a (b — c) = a b c1 mit der Valenzbedingung b1 c = 0; und die rechte Seite der Formel hat den Wert: a b — a c = a b (a c)1 = a b (a1 + c1) = a b c1 mit der Valenzbedingung (a b)1 a c = (a1 + b1) a c = a b1 c = 0. Unter der Voraussetzung also, dass die Ausdrücke zu beiden Seiten der Formel nur überhaupt einen Sinn haben — eine Voraussetzung, die man füglich als eine „selbstverständliche“ bezeichnen kann — werden diese beiderseitigen Ausdrücke das Nämliche (nämlich a b c1) bedeuten und ist die Gültigkeit der Formel unanfechtbar. Bedingung dafür ist die vereinigte Gleichung der beiderseitigen Valenzbedingungen, welche im vorliegenden Falle aber auf die erste, die linkseitige Valenz- bedingung sich reduzirt, indem diese, nämlich b1 c = 0, schon von selber auch die andre a b1 c = 0 zur Folge hat. Immerhin ist nicht zu übersehen, dass die Valenzbedingungen für die beiden Seiten der Gleichung τ) verschiedene sind, dass die linke Seite, um einen Sinn zu haben, mehr verlangte, als die rechte. Man kann daher durch unbedachte Anwendung des Satzes in Fehler verfallen, und es ist z. B. aa — a oder a · a — a · 1 nicht = a (a — 1), weil die Valenzbedingung für die Differenz a — 1, das wäre a1 = 0, im allgemeinen nicht erfüllt ist, während andrerseits a a — a sehr wohl einen Sinn, nämlich den Wert 0 hat. Im übrigen kann auf Grund von τ) der Satz des Widerspruchs oder die Formel 30×) sub ξ) a (1 — a) = 0 jetzt aufgelöst werden in a — a a = 0 und erscheint er darnach als eine blosse Umschreibung des Tautologie- gesetzes 14×) a a = a — eine Auffassung, welche besonders Boole betonte. Für die Wortsprache ist die Ausserachtlassung der Verschiedenartig- keit jener beiderseitigen Valenzbedingungen nicht verfänglich und zwar wegen der oben erwähnten Licenz, deren sie sich beim Statuiren von Ausnahmen erfreut. Ein Beispiel wird dies deutlich machen. Es möge a = betrunken, b = Heide, c = Grönländer bedeuten. Nehmen wir an, dass es betrunkene Grönländer gar nicht gibt, sintemal man auf Grönland nur in Leberthran kneipt, so wird der Satz an- zuerkennen sein, dass die betrunkenen Heiden ohne die Grönländer einerlei sind mit den betrunkenen Heiden ohne die betrunkenen Grönländer, das ist a b — a c, welches wegen a c = 0 sich in a b zusammenzieht! Keines- wegs dürfte aber a (b — c) hiefür geschrieben werden, in Anbetracht, dass nicht alle Grönländer Heiden zu sein brauchen oder wirklich sind, man

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 491. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/511>, abgerufen am 21.05.2024.