Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 27. Methoden von McColl und Peirce.

so ist x + y + z ein Faktor unseres Ausdrucks x + y z. Um die Probe mit
x + y + z₁ zu machen, haben wir zu bemerken, dass:
x ⋹ x + y + z₁ und y z ⋹ x + y + z₁
ist, sodass dies ebenfalls einer von den gesuchten Faktoren sein musste.
Das nämliche stellt sich heraus, wenn wir mit x + y₁ + z den Versuch
machen, womit also (hier zufällig bei den drei ersten Versuchen) die ge-
suchten Faktoren schon vollzählig gefunden sind. Dagegen würde z. B. mit
x + y₁ + z₁ der Versuch fehlgeschlagen haben, indem zwar x ⋹ x + y₁ + z₁
aber nicht y z ⋹ x + y₁ + z₁ sein müsste, und bezüglich x₁ + y₁ + z₁ liesse
sich weder einsehen, dass x, noch dass y z demselben eingeordnet sein
müsste. Etc.

Sollte ebenso beispielsweise der Ausdruck:
(a + b + c) (a + b₁ + c₁) (a₁ + b + c)
— diesmal in die Form einer Summe, also schlechtweg — „entwickelt“
werden, so wäre m = 3, n = 9, p = 3, sodass
2³ + 9 — 3 × 3 — 3 = 5
die a priori bestimmte Anzahl der zu gewärtigenden Entwickelungsglieder
ist. Von den acht Konstituenten der Entwickelung (von 1) nach a, b, c
sind daher nur dreie hier ausgeschlossen, und zwar sind es diese:
a₁ b₁ c₁, a₁ b c, a b₁ c₁,
welche allein nicht in allen drei Faktoren, nämlich in den gerade darüber-
stehenden nicht, sich enthalten erweisen. Der Ausdruck ist sonach:
= a b c + a b c₁ + a b₁ c + a₁ b c₁ + a₁ b₁ c. —

Die Vorausbestimmung der Anzahl Glieder resp. Faktoren der ge-
suchten Entwickelung erscheint mir zwar verdienstlich, das ganze Verfahren
auch in der That nicht schwierig, jedoch (im allgemeinen) als zu umständ-
lich und ermüdend gegenüber denjenigen Verfahrungsweisen, vor welchen
ihm Peirce den Vorzug zuerkennen will, und die schon im § 13 ausein-
andergesetzt wurden.

Ich würde bei Aufgaben der letzterwähnten Art judiziöses Ausmultipli-
ziren vorziehen, wo noch Faktoren fehlen dieselben in Gestalt von 1, = x + x₁,
hinzufügend, wiederholten Ansatz eines Gliedes aber vermeidend. So haben
wir, in dem Beispiel, durch Vereinigung des ersten mit dem dritten Fak-
tor sogleich:
(b + c) (a + b₁ + c₁) = a (b c + b c₁ + b₁ c) + a₁ (b c₁ + b₁ c)
— etwa bei (b₁ + c₁) den Faktor a₁ gemäss Th. 33₊) Zusatz beifügend, und
b + c beim Multipliziren mit a vollends entwickelnd gemäss Th. 33₊) selbst.

Bei den Aufgaben der vorigen Art aber scheint mir das Schema des
Th. 27_×) am bequemsten verwendet zu werden, wonach in obigem Beispiel
zuerst x + y z in (x + y) (x + z) übergeht, sodann weil x + y den Buch-
staben z, x + z aber den y noch nicht, wie es erforderlich wäre, enthält,
weiter:
x + y = x + y + z z₁ = (x + y + z) (x + y + z₁)