Ausdehnung der Produkte betreffenden Sätze auf beliebig viele Terme.
Wird: a1a2 ... an = x genannt, so gilt auch: x = a2a1a3 ... an = = a1a2 ... ar -- 1ar + 1ar ar + 2 ... an -- 1an = = a1a2 ... an -- 2an an -- 1.
Beweis. Da man nach 13)b Klammern auch beliebig anbringen darf, so können wir schreiben: x = (a1a2 ... ar - 1) (ar ar + 1) (ar + 2 ... an) = = sr -- 1 (ar ar + 1) tr + 1.
Nach Th. 12x) ist aber ar ar + 1 = ar + 1ar, und darnach wird -- gemäss 16x): x = sr -- 1 (ar + 1ar) tr + 1 = sr -- 1ar + 1ar tr + 1.
Setzt man hierin wieder die Werte von sr -- 1 nebst tr + 1 ein, und lässt die dabei um diesen ihren zusammengesetzten Namen ursprüng- lich anzubringenden Klammern kraft 13)b weg, so ist der mittlere (allgemeine) Teil unsrer Behauptung bewiesen.
Ebenso beweist man die beiden andern Teile, indem für die ex- tremen oder Rand-Fälle (r = 1 und r = n -- 1) sein muss: x = (a1a2) t2 = (a2a1) t2 = a2a1t2 und x = sn -- 2 (an -- 1an) = sn -- 2 (an an -- 1) = sn -- 2an an -- 1. q. e. d.
Satz 13)d. Ist aber Vertauschung benachbarter Faktoren erlaubt, so kann man aus irgend einer gegebenen auch jede gewünschte Anordnung der Faktoren herleiten.
Man suche unter den Faktoren der gegebenen Anordnung den- jenigen heraus, welcher (in der gewünschten Anordnung) an die erste Stelle treten soll. Steht er nicht bereits an dieser, so lasse man ihn durch nötigenfalls fortgesetzte Vertauschung mit dem ihm jeweils un- mittelbar vorangehenden Faktor, nach und nach bis an die erste Stelle vorrücken. Sobald er dieselbe inne hat, lasse man ihn an dieser fortan unverändert stehen. Man suche hierauf denjenigen Faktor in der nunmehr als gegeben vorliegenden Anordnung auf, welcher in der verlangten die zweite Stelle einnehmen soll. Hat er diese Stelle nicht schon selber inne, so ist er jedenfalls hinter derselben zu finden, weil vor ihr nach dem Bisherigen bereits ein andrer Faktor steht. Man lasse ihn dann ebenso -- in fortgesetztem Platzwechsel mit dem augen- blicklich unmittelbar vor ihm stehenden resp. vor ihn getretenen -- bis an die zweite Stelle vorrücken, und wenn er sie erreicht, in der-
Ausdehnung der Produkte betreffenden Sätze auf beliebig viele Terme.
Wird: a1a2 … an = x genannt, so gilt auch: x = a2a1a3 … an = = a1a2 … ar — 1ar + 1ar ar + 2 … an — 1an = = a1a2 … an — 2an an — 1.
Beweis. Da man nach 13)b Klammern auch beliebig anbringen darf, so können wir schreiben: x = (a1a2 … ar - 1) (ar ar + 1) (ar + 2 … an) = = sr — 1 (ar ar + 1) tr + 1.
Nach Th. 12×) ist aber ar ar + 1 = ar + 1ar, und darnach wird — gemäss 16×): x = sr — 1 (ar + 1ar) tr + 1 = sr — 1ar + 1ar tr + 1.
Setzt man hierin wieder die Werte von sr — 1 nebst tr + 1 ein, und lässt die dabei um diesen ihren zusammengesetzten Namen ursprüng- lich anzubringenden Klammern kraft 13)b weg, so ist der mittlere (allgemeine) Teil unsrer Behauptung bewiesen.
Ebenso beweist man die beiden andern Teile, indem für die ex- tremen oder Rand-Fälle (r = 1 und r = n — 1) sein muss: x = (a1a2) t2 = (a2a1) t2 = a2a1t2 und x = sn — 2 (an — 1an) = sn — 2 (an an — 1) = sn — 2an an — 1. q. e. d.
Satz 13)d. Ist aber Vertauschung benachbarter Faktoren erlaubt, so kann man aus irgend einer gegebenen auch jede gewünschte Anordnung der Faktoren herleiten.
Man suche unter den Faktoren der gegebenen Anordnung den- jenigen heraus, welcher (in der gewünschten Anordnung) an die erste Stelle treten soll. Steht er nicht bereits an dieser, so lasse man ihn durch nötigenfalls fortgesetzte Vertauschung mit dem ihm jeweils un- mittelbar vorangehenden Faktor, nach und nach bis an die erste Stelle vorrücken. Sobald er dieselbe inne hat, lasse man ihn an dieser fortan unverändert stehen. Man suche hierauf denjenigen Faktor in der nunmehr als gegeben vorliegenden Anordnung auf, welcher in der verlangten die zweite Stelle einnehmen soll. Hat er diese Stelle nicht schon selber inne, so ist er jedenfalls hinter derselben zu finden, weil vor ihr nach dem Bisherigen bereits ein andrer Faktor steht. Man lasse ihn dann ebenso — in fortgesetztem Platzwechsel mit dem augen- blicklich unmittelbar vor ihm stehenden resp. vor ihn getretenen — bis an die zweite Stelle vorrücken, und wenn er sie erreicht, in der-
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[613/0633]
Ausdehnung der Produkte betreffenden Sätze auf beliebig viele Terme.
Wird: a1 a2 … an = x genannt, so gilt auch:
x = a2 a1 a3 … an =
= a1 a2 … ar — 1 ar + 1 ar ar + 2 … an — 1 an =
= a1 a2 … an — 2 an an — 1.
Beweis. Da man nach 13)b Klammern auch beliebig anbringen
darf, so können wir schreiben:
x = (a1 a2 … ar - 1) (ar ar + 1) (ar + 2 … an) =
= sr — 1 (ar ar + 1) tr + 1.
Nach Th. 12×) ist aber ar ar + 1 = ar + 1 ar, und darnach wird —
gemäss 16×):
x = sr — 1 (ar + 1 ar) tr + 1 = sr — 1 ar + 1 ar tr + 1.
Setzt man hierin wieder die Werte von sr — 1 nebst tr + 1 ein, und
lässt die dabei um diesen ihren zusammengesetzten Namen ursprüng-
lich anzubringenden Klammern kraft 13)b weg, so ist der mittlere
(allgemeine) Teil unsrer Behauptung bewiesen.
Ebenso beweist man die beiden andern Teile, indem für die ex-
tremen oder Rand-Fälle (r = 1 und r = n — 1) sein muss:
x = (a1 a2) t2 = (a2 a1) t2 = a2 a1 t2
und
x = sn — 2 (an — 1 an) = sn — 2 (an an — 1) = sn — 2 an an — 1.
q. e. d.
Satz 13)d. Ist aber Vertauschung benachbarter Faktoren erlaubt,
so kann man aus irgend einer gegebenen auch jede gewünschte Anordnung
der Faktoren herleiten.
Man suche unter den Faktoren der gegebenen Anordnung den-
jenigen heraus, welcher (in der gewünschten Anordnung) an die erste
Stelle treten soll. Steht er nicht bereits an dieser, so lasse man ihn
durch nötigenfalls fortgesetzte Vertauschung mit dem ihm jeweils un-
mittelbar vorangehenden Faktor, nach und nach bis an die erste Stelle
vorrücken. Sobald er dieselbe inne hat, lasse man ihn an dieser
fortan unverändert stehen. Man suche hierauf denjenigen Faktor in
der nunmehr als gegeben vorliegenden Anordnung auf, welcher in der
verlangten die zweite Stelle einnehmen soll. Hat er diese Stelle nicht
schon selber inne, so ist er jedenfalls hinter derselben zu finden, weil
vor ihr nach dem Bisherigen bereits ein andrer Faktor steht. Man
lasse ihn dann ebenso — in fortgesetztem Platzwechsel mit dem augen-
blicklich unmittelbar vor ihm stehenden resp. vor ihn getretenen —
bis an die zweite Stelle vorrücken, und wenn er sie erreicht, in der-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 613. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/633>, abgerufen am 22.05.2024.
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