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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

Von zwei Ausdrücken werden wir nämlich sagen, dass sie zum
nämlichen Typus gehören, wenn sie durch blossen Buchstabenwechsel
aus einander hervorgehen, genauer: wenn es möglich ist, aus dem
einen Ausdruck den andern, dadurch abzuleiten, dass man für die ein-
fachen Buchstaben a, a1, b, b1, ... aus denen er sich zusammensetzt und
deren positive uns unabhängig beliebige Gebiete vorstellen, eventuell
andere (sei es positive, sei es negative) einfache Symbole sub-
stituirt, deren positive ebenfalls unabhängig beliebige Gebiete vorzu-
stellen haben.*) Es wird dann immer auch möglich sein, den andern
Ausdruck aus dem einen zurückzugewinnen: indem man nämlich die
vorigen Einsetzungen wieder rückgängig macht. (Postulat?, dass man
dies immer könne.)

Vom selben Typus sind z. B. die Ausdrücke
a + a1 b c1 und b1 + a1 d,
weil der zweite (zunächst in der mit ihm äquivalenten Form b1 + a1 b d, = b1 + b d a1)
sich aus dem ersten (der auch zu a + b c1 reduzirbar) ergibt, indem man
in diesem das a durch b1' -- somit das a1 durch b' -- zugleich das b
durch d' und das c1 durch a1' ersetzt, hernach aber die Accente weglässt.
Darnach wird auch der erste Ausdruck sich aus dem zweiten (in seiner
reduzirten Form) ergeben, indem man im letztern b1 durch a', d durch b',
und a1 durch c1' ersetzt, sodann die Accente fortlässt.

Hat man zwei Ausdrücke auf die Übereinstimmung ihres Typus zu
untersuchen, in welchen teilweise oder durchaus die nämlichen Buchstaben
auftreten, so ist es ratsam (so, wie es im vorstehenden Beispiel durch-
geführt worden), die Buchstaben des einen Ausdrucks provisorisch mit Ac-
centen zu versehen und dadurch von denen des andern unterscheidbar zu
machen.

In der That sollten die Buchstaben des einen Ausdrucks eine von den
gleichnamigen des andern unabhängig beliebige Bedeutung haben, und wird
man so nur die allgemeine für das Bezeichnen maassgebende Maxime im
vorliegenden Falle befolgt haben, dass in einer Untersuchung als ver-
schieden Denkbares nicht übereinstimmend bezeichnet werden dürfe.

Andernfalles läuft man nicht selten Gefahr die gleichnamigen Buch-
staben als solche des ersten und als solche des zweiten Ausdruckes zu
vermengen, wie an einem Beispiel dargelegt werden möge: Um den
Ausdruck:
a x + a1 b y + b1 c in b1 x + b c1 y + a c
zu verwandeln und damit zu erkennen, dass beide zum selben Typus ge-
hören, ist erforderlich und hinreichend, a tempo zu ersetzen:
(x durch x, y durch y),

*) Selbstverständlich ist bei diesen Einsetzungen zu beachten, dass nach
Th. 32), wenn b für a gesetzt wird, auch b1 für a1 gesetzt werden muss, gleichwie,
wo a durch b1 ersetzt wird, auch a1 durch b ersetzt werden muss.
Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

Von zwei Ausdrücken werden wir nämlich sagen, dass sie zum
nämlichen Typus gehören, wenn sie durch blossen Buchstabenwechsel
aus einander hervorgehen, genauer: wenn es möglich ist, aus dem
einen Ausdruck den andern, dadurch abzuleiten, dass man für die ein-
fachen Buchstaben a, a1, b, b1, … aus denen er sich zusammensetzt und
deren positive uns unabhängig beliebige Gebiete vorstellen, eventuell
andere (sei es positive, sei es negative) einfache Symbole sub-
stituirt, deren positive ebenfalls unabhängig beliebige Gebiete vorzu-
stellen haben.*) Es wird dann immer auch möglich sein, den andern
Ausdruck aus dem einen zurückzugewinnen: indem man nämlich die
vorigen Einsetzungen wieder rückgängig macht. (Postulat?, dass man
dies immer könne.)

Vom selben Typus sind z. B. die Ausdrücke
a + a1 b c1 und b1 + a1 d,
weil der zweite (zunächst in der mit ihm äquivalenten Form b1 + a1 b d, = b1 + b d a1)
sich aus dem ersten (der auch zu a + b c1 reduzirbar) ergibt, indem man
in diesem das a durch b1' — somit das a1 durch b' — zugleich das b
durch d' und das c1 durch a1' ersetzt, hernach aber die Accente weglässt.
Darnach wird auch der erste Ausdruck sich aus dem zweiten (in seiner
reduzirten Form) ergeben, indem man im letztern b1 durch a', d durch b',
und a1 durch c1' ersetzt, sodann die Accente fortlässt.

Hat man zwei Ausdrücke auf die Übereinstimmung ihres Typus zu
untersuchen, in welchen teilweise oder durchaus die nämlichen Buchstaben
auftreten, so ist es ratsam (so, wie es im vorstehenden Beispiel durch-
geführt worden), die Buchstaben des einen Ausdrucks provisorisch mit Ac-
centen zu versehen und dadurch von denen des andern unterscheidbar zu
machen.

In der That sollten die Buchstaben des einen Ausdrucks eine von den
gleichnamigen des andern unabhängig beliebige Bedeutung haben, und wird
man so nur die allgemeine für das Bezeichnen maassgebende Maxime im
vorliegenden Falle befolgt haben, dass in einer Untersuchung als ver-
schieden Denkbares nicht übereinstimmend bezeichnet werden dürfe.

Andernfalles läuft man nicht selten Gefahr die gleichnamigen Buch-
staben als solche des ersten und als solche des zweiten Ausdruckes zu
vermengen, wie an einem Beispiel dargelegt werden möge: Um den
Ausdruck:
a x + a1 b y + b1 c in b1 x + b c1 y + a c
zu verwandeln und damit zu erkennen, dass beide zum selben Typus ge-
hören, ist erforderlich und hinreichend, a tempo zu ersetzen:
(x durch x, y durch y),

*) Selbstverständlich ist bei diesen Einsetzungen zu beachten, dass nach
Th. 32), wenn b für a gesetzt wird, auch b1 für a1 gesetzt werden muss, gleichwie,
wo a durch b1 ersetzt wird, auch a1 durch b ersetzt werden muss.
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[651/0671] Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. Von zwei Ausdrücken werden wir nämlich sagen, dass sie zum nämlichen Typus gehören, wenn sie durch blossen Buchstabenwechsel aus einander hervorgehen, genauer: wenn es möglich ist, aus dem einen Ausdruck den andern, dadurch abzuleiten, dass man für die ein- fachen Buchstaben a, a1, b, b1, … aus denen er sich zusammensetzt und deren positive uns unabhängig beliebige Gebiete vorstellen, eventuell andere (sei es positive, sei es negative) einfache Symbole sub- stituirt, deren positive ebenfalls unabhängig beliebige Gebiete vorzu- stellen haben. *) Es wird dann immer auch möglich sein, den andern Ausdruck aus dem einen zurückzugewinnen: indem man nämlich die vorigen Einsetzungen wieder rückgängig macht. (Postulat?, dass man dies immer könne.) Vom selben Typus sind z. B. die Ausdrücke a + a1 b c1 und b1 + a1 d, weil der zweite (zunächst in der mit ihm äquivalenten Form b1 + a1 b d, = b1 + b d a1) sich aus dem ersten (der auch zu a + b c1 reduzirbar) ergibt, indem man in diesem das a durch b1' — somit das a1 durch b' — zugleich das b durch d' und das c1 durch a1' ersetzt, hernach aber die Accente weglässt. Darnach wird auch der erste Ausdruck sich aus dem zweiten (in seiner reduzirten Form) ergeben, indem man im letztern b1 durch a', d durch b', und a1 durch c1' ersetzt, sodann die Accente fortlässt. Hat man zwei Ausdrücke auf die Übereinstimmung ihres Typus zu untersuchen, in welchen teilweise oder durchaus die nämlichen Buchstaben auftreten, so ist es ratsam (so, wie es im vorstehenden Beispiel durch- geführt worden), die Buchstaben des einen Ausdrucks provisorisch mit Ac- centen zu versehen und dadurch von denen des andern unterscheidbar zu machen. In der That sollten die Buchstaben des einen Ausdrucks eine von den gleichnamigen des andern unabhängig beliebige Bedeutung haben, und wird man so nur die allgemeine für das Bezeichnen maassgebende Maxime im vorliegenden Falle befolgt haben, dass in einer Untersuchung als ver- schieden Denkbares nicht übereinstimmend bezeichnet werden dürfe. Andernfalles läuft man nicht selten Gefahr die gleichnamigen Buch- staben als solche des ersten und als solche des zweiten Ausdruckes zu vermengen, wie an einem Beispiel dargelegt werden möge: Um den Ausdruck: a x + a1 b y + b1 c in b1 x + b c1 y + a c zu verwandeln und damit zu erkennen, dass beide zum selben Typus ge- hören, ist erforderlich und hinreichend, a tempo zu ersetzen: (x durch x, y durch y), *) Selbstverständlich ist bei diesen Einsetzungen zu beachten, dass nach Th. 32), wenn b für a gesetzt wird, auch b1 für a1 gesetzt werden muss, gleichwie, wo a durch b1 ersetzt wird, auch a1 durch b ersetzt werden muss.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 651. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/671>, abgerufen am 21.05.2024.