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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Geometrisch-kombinatorisches Problem von Jevons.

16. Typus (kompl. zum 7. Typ.): 3 + 4 + 5 + 6 + 8 =
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20. Typus (kompl. zum 3. Typ.): 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =
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21. Typus (kompl. zum 2. Typ.): 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =
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22. Typus (kompl. zum 1. Typ.): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =
= a b c + a b c1 + a b1 c + a b1 c1 + a1 b c + a1 b c1 + a1 b1 c + a1 b1 c1 = 1.

Die vorstehend von mir durchgeführte Untersuchung -- ohne das
geometrische Gewand, in das ich sie gekleidet, und ohne die Bezugnahme
auf "Ausdrücke" sowie "Gruppen" -- ist zuerst von Jevons in Angriff
genommen, der sich die Frage vorlegte, wie vielerlei "Aussagen" (innerhalb
der von uns charakterisirten Schranken) über drei Klassen a, b, c gemacht
werden können. Jevons schreibt -- freilich in ganz andrer Gestalt, als
die oben gewonnene -- die 256 rechts auf 0 gebrachten Aussagen wirklich
hin (9 p. 286 ... 289 cf. auch 8 p. 137 sqq.) -- eine Zusammenstellung, die er
als "the logical index" bezeichnet. Er ordnet diese Aussagen in ver-
schiedene "Typen" ein, deren er aber (statt 22) nur 15 aufstellt. Die der
übrigen zu klassifiziren verhindert ihn ein fundamentaler Irrtum, zufolge
dessen er eine Aussage als eine sich selbst widersprechende (als "inconsi-
stent") erklärt wenn sie das Verschwinden von einer der drei Klassen a,
b, c, oder von einer ihrer Negationen a1, b1, c1 involvirt. Mit Recht hebt
Venn1 p. 162 Fussnote hervor, dass was (auch von Jevons) bei ab-
geleiteten Symbolen, z. B. Produkten wie a b, etc. als zulässig erklärt wird,
auch bei den ursprünglichen Symbolen nicht ausgeschlossen werden darf,
dass aber die Einführung einer solchen Restriktion überhaupt (ein Verbot,
leere oder verschwindende Klassen zur Sprache zu bringen) für die Logik
ein geradezu selbstmörderisches Verfahren (suicidal) wäre.

Zu verwundern ist, dass Clifford, der wie nachher zu schildern, das
analoge Problem für vier Symbole a, b, c, d gelöst, gleichwol die
Jevons'sche Lösung des niedereren Problems (für dreie) nicht revidirt zu
haben scheint.

Geometrisch-kombinatorisches Problem von Jevons.

17. Typus (kompl. zum 6. Typ.): 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =
= a b1 c1 + a1 b c + a1 b c1 + a1 b1 c + a1 b1 c1 = b1 c1 + a1;

18. Typus (kompl. zum 5. Typ.): 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 =
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Die vorstehend von mir durchgeführte Untersuchung — ohne das
geometrische Gewand, in das ich sie gekleidet, und ohne die Bezugnahme
auf „Ausdrücke“ sowie „Gruppen“ — ist zuerst von Jevons in Angriff
genommen, der sich die Frage vorlegte, wie vielerlei „Aussagen“ (innerhalb
der von uns charakterisirten Schranken) über drei Klassen a, b, c gemacht
werden können. Jevons schreibt — freilich in ganz andrer Gestalt, als
die oben gewonnene — die 256 rechts auf 0 gebrachten Aussagen wirklich
hin (9 p. 286 … 289 cf. auch 8 p. 137 sqq.) — eine Zusammenstellung, die er
als „the logical index“ bezeichnet. Er ordnet diese Aussagen in ver-
schiedene „Typen“ ein, deren er aber (statt 22) nur 15 aufstellt. Die der
übrigen zu klassifiziren verhindert ihn ein fundamentaler Irrtum, zufolge
dessen er eine Aussage als eine sich selbst widersprechende (als „inconsi-
stent“) erklärt wenn sie das Verschwinden von einer der drei Klassen a,
b, c, oder von einer ihrer Negationen a1, b1, c1 involvirt. Mit Recht hebt
Venn1 p. 162 Fussnote hervor, dass was (auch von Jevons) bei ab-
geleiteten Symbolen, z. B. Produkten wie a b, etc. als zulässig erklärt wird,
auch bei den ursprünglichen Symbolen nicht ausgeschlossen werden darf,
dass aber die Einführung einer solchen Restriktion überhaupt (ein Verbot,
leere oder verschwindende Klassen zur Sprache zu bringen) für die Logik
ein geradezu selbstmörderisches Verfahren (suicidal) wäre.

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[671/0691] Geometrisch-kombinatorisches Problem von Jevons. 16. Typus (kompl. zum 7. Typ.): 3 + 4 + 5 + 6 + 8 = = a b1 c + a b1 c1 + a1 b c + a1 b c1 + a1 b1 c1 = a b1 + a1 b + (a1 + b1) c1 = = a b1 + a1 b + a1 c1 = a b1 + a1 b + b1 c1 = a b1 + a1 (b + c1) = = (a + c1) b1 + a1 b = a b1 + a1 b + a1 b1 c1; 17. Typus (kompl. zum 6. Typ.): 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = = a b1 c1 + a1 b c + a1 b c1 + a1 b1 c + a1 b1 c1 = b1 c1 + a1; 18. Typus (kompl. zum 5. Typ.): 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = = a b c1 + a b1 c + a b1 c1 + a1 b c + a1 b c1 + a1 b1 c = = a b1 + b c1 + c a1 = a c1 + c b1 + b a1 = (a + b + c) (a1 + b1 + c1); 19. Typus (kompl. zum 4. Typ.): 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 = = a b c1 + a b1 c + a1 b c + a1 b c1 + a1 b1 c + a1 b1 c1 = b c1 + b1 c + a1; 20. Typus (kompl. zum 3. Typ.): 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = = a b1 c + a b1 c1 + a1 b c + a1 b c1 + a1 b1 c + a1 b1 c1 = a1 + b1; 21. Typus (kompl. zum 2. Typ.): 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = = a b c1 + a b1 c + a b1 c1 + a1 b c + a1 b c1 + a1 b1 c + a1 b1 c1 = a1 + b1 + c1; 22. Typus (kompl. zum 1. Typ.): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = = a b c + a b c1 + a b1 c + a b1 c1 + a1 b c + a1 b c1 + a1 b1 c + a1 b1 c1 = 1. Die vorstehend von mir durchgeführte Untersuchung — ohne das geometrische Gewand, in das ich sie gekleidet, und ohne die Bezugnahme auf „Ausdrücke“ sowie „Gruppen“ — ist zuerst von Jevons in Angriff genommen, der sich die Frage vorlegte, wie vielerlei „Aussagen“ (innerhalb der von uns charakterisirten Schranken) über drei Klassen a, b, c gemacht werden können. Jevons schreibt — freilich in ganz andrer Gestalt, als die oben gewonnene — die 256 rechts auf 0 gebrachten Aussagen wirklich hin (9 p. 286 … 289 cf. auch 8 p. 137 sqq.) — eine Zusammenstellung, die er als „the logical index“ bezeichnet. Er ordnet diese Aussagen in ver- schiedene „Typen“ ein, deren er aber (statt 22) nur 15 aufstellt. Die der übrigen zu klassifiziren verhindert ihn ein fundamentaler Irrtum, zufolge dessen er eine Aussage als eine sich selbst widersprechende (als „inconsi- stent“) erklärt wenn sie das Verschwinden von einer der drei Klassen a, b, c, oder von einer ihrer Negationen a1, b1, c1 involvirt. Mit Recht hebt Venn1 p. 162 Fussnote hervor, dass was (auch von Jevons) bei ab- geleiteten Symbolen, z. B. Produkten wie a b, etc. als zulässig erklärt wird, auch bei den ursprünglichen Symbolen nicht ausgeschlossen werden darf, dass aber die Einführung einer solchen Restriktion überhaupt (ein Verbot, leere oder verschwindende Klassen zur Sprache zu bringen) für die Logik ein geradezu selbstmörderisches Verfahren (suicidal) wäre. Zu verwundern ist, dass Clifford, der wie nachher zu schildern, das analoge Problem für vier Symbole a, b, c, d gelöst, gleichwol die Jevons'sche Lösung des niedereren Problems (für dreie) nicht revidirt zu haben scheint.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 671. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/691>, abgerufen am 21.05.2024.

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