liegende" ("proximates"), welche den Abstand 1 von ihm besitzen, sechs "mittelständige" ("mediates"), die von ihm den Abstand 2 haben, vier "abliegende" ("ultimates") mit dem Abstand 3, endlich einen "gegenüberliegenden" ("obverse") mit dem Abstand 4 -- so wie es für den Ursprung a b c d das folgende Schema zu erkennen gibt:
[Abbildung]
[Abbildung]
Fig. 39.
Die Frage ist: auf wie viele Arten irgendwieviele von diesen 16 Konstituenten ausgehoben und zu einer identischen Summe ver- einigt, additiv kombinirt werden können, wenn man zu einerlei Art alle diejenigen Aushebungen rechnet, bei welchen die resultirenden Summen durch blosse Vertauschungen unter den Buchstaben a, b, c, d, a1, b1, c1, d1 auf einander zurückgeführt werden können.
Auch hier lässt das Problem sich unter geometrischem Bilde be- trachten. Und zwar läuft es hinaus auf die Ermittelung der Anzahl der Arten, auf welche bei dem "Analogon des Würfels in einer räumlichen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen" sich Ecken auswählen lassen. Um zunächst für dieses Gebilde einen geeigneten Namen zu gewinnen, möge man bedenken, dass auch zutreffend bezeichnet werden könnte die Strecke als Zweieck das Quadrat " (reguläres) Vierstreck (Vierseit) der Würfel, Kubus " " Sechsquadrat (Hexaeder) -- indem in dem ohnehin für letztern gebräuchlichen Namen "Sechsflach" (Hexa-hedron) nur zufällig nicht ausgedrückt erscheint, dass jede Seiten- fläche ein Quadrat sein solle.
Für jenes fragliche vierdimensionale Gebilde bietet demnach unge- zwungen der Name "Achtwürfel" "Oktokub" oder (reguläres) "Achtzell" sich dar. Dieses Achtzell ist in der That zu denken als ein vierdimensio- nales (hyper-)räumliches Gebiet, welches begrenzt ist von acht Würfeln, von denen immer viere in einer Ecke der Figur zusammenstossen und zu je zweien eine quadratische Seitenfläche gemein haben.
Man kann das Gebilde ganz gut auch in unserm (dreidimensionalen) Raume veranschaulichen -- sei es durch seine Projektion in den letztern, wo die Würfel sich als Rhomboeder darstellen, sei es auf eine Weise, die ich jetzt beschreiben will.
Schon das Quadrat kann selber (ich meine nicht eine Projektion des- selben) mit seinen vier Ecken in eine gerade Linie eingezeichnet werden,
Anhang 6.
liegende“ („proximates“), welche den Abstand 1 von ihm besitzen, sechs „mittelständige“ („mediates“), die von ihm den Abstand 2 haben, vier „abliegende“ („ultimates“) mit dem Abstand 3, endlich einen „gegenüberliegenden“ („obverse“) mit dem Abstand 4 — so wie es für den Ursprung a b c d das folgende Schema zu erkennen gibt:
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Fig. 39.
Die Frage ist: auf wie viele Arten irgendwieviele von diesen 16 Konstituenten ausgehoben und zu einer identischen Summe ver- einigt, additiv kombinirt werden können, wenn man zu einerlei Art alle diejenigen Aushebungen rechnet, bei welchen die resultirenden Summen durch blosse Vertauschungen unter den Buchstaben a, b, c, d, a1, b1, c1, d1 auf einander zurückgeführt werden können.
Auch hier lässt das Problem sich unter geometrischem Bilde be- trachten. Und zwar läuft es hinaus auf die Ermittelung der Anzahl der Arten, auf welche bei dem „Analogon des Würfels in einer räumlichen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen“ sich Ecken auswählen lassen. Um zunächst für dieses Gebilde einen geeigneten Namen zu gewinnen, möge man bedenken, dass auch zutreffend bezeichnet werden könnte die Strecke als Zweieck das Quadrat „ (reguläres) Vierstreck (Vierseit) der Würfel, Kubus „ „ Sechsquadrat (Hexaeder) — indem in dem ohnehin für letztern gebräuchlichen Namen „Sechsflach“ (Hexa-hedron) nur zufällig nicht ausgedrückt erscheint, dass jede Seiten- fläche ein Quadrat sein solle.
Für jenes fragliche vierdimensionale Gebilde bietet demnach unge- zwungen der Name „Achtwürfel“ „Oktokub“ oder (reguläres) „Achtzell“ sich dar. Dieses Achtzell ist in der That zu denken als ein vierdimensio- nales (hyper-)räumliches Gebiet, welches begrenzt ist von acht Würfeln, von denen immer viere in einer Ecke der Figur zusammenstossen und zu je zweien eine quadratische Seitenfläche gemein haben.
Man kann das Gebilde ganz gut auch in unserm (dreidimensionalen) Raume veranschaulichen — sei es durch seine Projektion in den letztern, wo die Würfel sich als Rhomboeder darstellen, sei es auf eine Weise, die ich jetzt beschreiben will.
Schon das Quadrat kann selber (ich meine nicht eine Projektion des- selben) mit seinen vier Ecken in eine gerade Linie eingezeichnet werden,
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Anhang 6.
liegende“ („proximates“), welche den Abstand 1 von ihm besitzen,
sechs „mittelständige“ („mediates“), die von ihm den Abstand 2 haben,
vier „abliegende“ („ultimates“) mit dem Abstand 3, endlich einen
„gegenüberliegenden“ („obverse“) mit dem Abstand 4 — so wie es für
den Ursprung a b c d das folgende Schema zu erkennen gibt:
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[Abbildung Fig. 39.]
Die Frage ist: auf wie viele Arten irgendwieviele von diesen
16 Konstituenten ausgehoben und zu einer identischen Summe ver-
einigt, additiv kombinirt werden können, wenn man zu einerlei Art
alle diejenigen Aushebungen rechnet, bei welchen die resultirenden
Summen durch blosse Vertauschungen unter den Buchstaben a, b, c, d,
a1, b1, c1, d1 auf einander zurückgeführt werden können.
Auch hier lässt das Problem sich unter geometrischem Bilde be-
trachten. Und zwar läuft es hinaus auf die Ermittelung der Anzahl der
Arten, auf welche bei dem „Analogon des Würfels in einer räumlichen
Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen“ sich Ecken auswählen lassen. Um
zunächst für dieses Gebilde einen geeigneten Namen zu gewinnen, möge
man bedenken, dass auch zutreffend bezeichnet werden könnte
die Strecke als Zweieck
das Quadrat „ (reguläres) Vierstreck (Vierseit)
der Würfel, Kubus „ „ Sechsquadrat (Hexaeder)
— indem in dem ohnehin für letztern gebräuchlichen Namen „Sechsflach“
(Hexa-hedron) nur zufällig nicht ausgedrückt erscheint, dass jede Seiten-
fläche ein Quadrat sein solle.
Für jenes fragliche vierdimensionale Gebilde bietet demnach unge-
zwungen der Name „Achtwürfel“ „Oktokub“ oder
(reguläres) „Achtzell“
sich dar. Dieses Achtzell ist in der That zu denken als ein vierdimensio-
nales (hyper-)räumliches Gebiet, welches begrenzt ist von acht Würfeln,
von denen immer viere in einer Ecke der Figur zusammenstossen und zu
je zweien eine quadratische Seitenfläche gemein haben.
Man kann das Gebilde ganz gut auch in unserm (dreidimensionalen)
Raume veranschaulichen — sei es durch seine Projektion in den letztern,
wo die Würfel sich als Rhomboeder darstellen, sei es auf eine Weise, die
ich jetzt beschreiben will.
Schon das Quadrat kann selber (ich meine nicht eine Projektion des-
selben) mit seinen vier Ecken in eine gerade Linie eingezeichnet werden,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 676. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/696>, abgerufen am 22.05.2024.
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