hier abermals eine Reihe von Problemen dem Mathematiker und Philosophen.
Anstatt von "Gruppen" schlechtweg, d. i. von Gruppen hin- sichtlich aller drei Operationen oder Spezies des identischen Kalkuls hat man zuweilen Veranlassung, auch zu reden von Gruppen in Hin- sicht nur gewisser von diesen drei Operationen. Und verdient es, hier noch kurz erörtert zu werden, auf wie viele und welche Arten solches möglich ist.
Von vornherein erscheint es möglich zu reden von einer Gruppe in Hinsicht keiner, oder irgend einer, oder irgend zweier oder endlich aller dreie von den genannten Operationen.
Der erste Fall bleibe ausser Betracht. Von den übrigen 3 + 3 + 1 = 7 Möglichkeiten erweisen aber nur fünfe sich als wesentlich verschieden, wo 5 entstanden aus 3 + 1 + 1.
In der That ist haltbar der Begriff einer Gruppe in Hinsicht der Negation für sich als eines Systems von Elementen, welches durch Negiren nicht weiter vermehrt werden kann, welches nämlich zu jedem Ausdrucke, der als Element des Systems auftritt, auch dessen Nega- tion bereits als Element enthält.
Desgleichen der Begriff
einer Gruppe in Hinsicht der Multiplikation und (dual entsprechend) der
einer Gruppe in Hinsicht der Addition allein.
Weiter der Begriff
einer Gruppe in Hinsicht der Multiplikation und Addition (mit Ausschluss jedoch der Negation) und endlich der Begriff
einer Gruppe in Hinsicht aller drei Spezies, der Gruppe schlechtweg.
Beispiele gelegentlich in Band 2.
Dagegen kann es nicht geben: eine Gruppenbildung hinsichtlich Multiplikation und Negation allein, desgleichen nicht eine solche nur in Hinsicht auf Addition und Nega- tion -- denn sind die Operationen eines von diesen beiden Paaren von Spezies zugelassen, so ist es von selbst auch immer die dritte Spezies, und wird der letzte Fall vorliegen: der Gruppenbildung schlechtweg oder in Hinsicht aller drei Spezies.
Dies beruht auf der Anmerkung zu den Theoremen 36), wonach auch (S. 353) (a1b1)1 = a + b resp. (a1 + b1)1 = a b allemal gebildet werden kann, sobald es gestattet ist, neben der Opera-
Anhang 6.
hier abermals eine Reihe von Problemen dem Mathematiker und Philosophen.
Anstatt von „Gruppen“ schlechtweg, d. i. von Gruppen hin- sichtlich aller drei Operationen oder Spezies des identischen Kalkuls hat man zuweilen Veranlassung, auch zu reden von Gruppen in Hin- sicht nur gewisser von diesen drei Operationen. Und verdient es, hier noch kurz erörtert zu werden, auf wie viele und welche Arten solches möglich ist.
Von vornherein erscheint es möglich zu reden von einer Gruppe in Hinsicht keiner, oder irgend einer, oder irgend zweier oder endlich aller dreie von den genannten Operationen.
Der erste Fall bleibe ausser Betracht. Von den übrigen 3 + 3 + 1 = 7 Möglichkeiten erweisen aber nur fünfe sich als wesentlich verschieden, wo 5 entstanden aus 3 + 1 + 1.
In der That ist haltbar der Begriff einer Gruppe in Hinsicht der Negation für sich als eines Systems von Elementen, welches durch Negiren nicht weiter vermehrt werden kann, welches nämlich zu jedem Ausdrucke, der als Element des Systems auftritt, auch dessen Nega- tion bereits als Element enthält.
Desgleichen der Begriff
einer Gruppe in Hinsicht der Multiplikation und (dual entsprechend) der
einer Gruppe in Hinsicht der Addition allein.
Weiter der Begriff
einer Gruppe in Hinsicht der Multiplikation und Addition (mit Ausschluss jedoch der Negation) und endlich der Begriff
einer Gruppe in Hinsicht aller drei Spezies, der Gruppe schlechtweg.
Beispiele gelegentlich in Band 2.
Dagegen kann es nicht geben: eine Gruppenbildung hinsichtlich Multiplikation und Negation allein, desgleichen nicht eine solche nur in Hinsicht auf Addition und Nega- tion — denn sind die Operationen eines von diesen beiden Paaren von Spezies zugelassen, so ist es von selbst auch immer die dritte Spezies, und wird der letzte Fall vorliegen: der Gruppenbildung schlechtweg oder in Hinsicht aller drei Spezies.
Dies beruht auf der Anmerkung zu den Theoremen 36), wonach auch (S. 353) (a1b1)1 = a + b resp. (a1 + b1)1 = a b allemal gebildet werden kann, sobald es gestattet ist, neben der Opera-
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Anhang 6.
hier abermals eine Reihe von Problemen dem Mathematiker und
Philosophen.
Anstatt von „Gruppen“ schlechtweg, d. i. von Gruppen hin-
sichtlich aller drei Operationen oder Spezies des identischen Kalkuls
hat man zuweilen Veranlassung, auch zu reden von Gruppen in Hin-
sicht nur gewisser von diesen drei Operationen. Und verdient es,
hier noch kurz erörtert zu werden, auf wie viele und welche Arten
solches möglich ist.
Von vornherein erscheint es möglich zu reden von einer Gruppe
in Hinsicht keiner, oder irgend einer, oder irgend zweier oder endlich
aller dreie von den genannten Operationen.
Der erste Fall bleibe ausser Betracht. Von den übrigen
3 + 3 + 1 = 7 Möglichkeiten erweisen aber nur fünfe sich als
wesentlich verschieden, wo 5 entstanden aus 3 + 1 + 1.
In der That ist haltbar der Begriff einer Gruppe in Hinsicht der
Negation für sich als eines Systems von Elementen, welches durch
Negiren nicht weiter vermehrt werden kann, welches nämlich zu jedem
Ausdrucke, der als Element des Systems auftritt, auch dessen Nega-
tion bereits als Element enthält.
Desgleichen der Begriff
einer Gruppe in Hinsicht der Multiplikation und (dual entsprechend) der
einer Gruppe in Hinsicht der Addition allein.
Weiter der Begriff
einer Gruppe in Hinsicht der Multiplikation und Addition (mit Ausschluss
jedoch der Negation) und endlich der Begriff
einer Gruppe in Hinsicht aller drei Spezies, der Gruppe schlechtweg.
Beispiele gelegentlich in Band 2.
Dagegen kann es nicht geben:
eine Gruppenbildung hinsichtlich Multiplikation und Negation allein,
desgleichen nicht eine solche nur in Hinsicht auf Addition und Nega-
tion — denn sind die Operationen eines von diesen beiden Paaren von
Spezies zugelassen, so ist es von selbst auch immer die dritte Spezies,
und wird der letzte Fall vorliegen: der Gruppenbildung schlechtweg
oder in Hinsicht aller drei Spezies.
Dies beruht auf der Anmerkung zu den Theoremen 36), wonach
auch (S. 353)
(a1 b1)1 = a + b resp. (a1 + b1)1 = a b
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 684. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/704>, abgerufen am 01.05.2024.
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