Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>
Anhang 6.

Da C aus B hervorgeht, indem man b und c vertauscht, so braucht
die Probe auf Vollständigkeit blos bei den Gruppen A, B und D aus-
geführt zu werden: für diese aber ist sie von erster Wichtigkeit, da
auf der konstatirten Vollständigkeit die Beweiskraft der Überlegungen
beruht. [Man müsste sich hier also der nicht unerheblichen Mühe des
systematischen Intermultiplizirens und Interaddirens unterziehen.]

Nach dem aufgestellten Begriffe der logischen Summe von Gruppen
haben wir nun:
B + C = D,
weil G (a b, a c, b c) die Bestimmungselemente von G (a b, b c) und
G (a c, b c) in sich vereinigt. Daher ist:
A · (B + C) = A · D = A
-- nach Th. 20x), weil ja A D, wie oben erwähnt, sein musste.

Andrerseits ist es leicht, die Produkte A · B und A · C der ersten
Gruppe in die beiden auf sie folgenden zu ermitteln.

Sucht man die Elemente auf, welche die Gruppen A und B, nämlich
ihre Elementensysteme, gemein haben, so bildet deren System not-
wendig wieder eine Gruppe. Diese möge E heissen; so lehrt der blosse
Anblick von A und B, dass
E = G4 (a b c) = {0, 1, a b c, a1 + b1 + c1}
ist, und haben wir also:
A · B = E.

Ebenso zeigt sich aber auch, dass
A · C = E
ist (wie zum Überfluss auch schon aus der Symmetrie von E bezüg-
lich a, b, c hervorgeht).

Darnach wird sein müssen:
A · B + A · C = E + E = E.

Nun deckt aber E sich keineswegs mit A, es ist sonach auch
A B + A C verschieden von, jedenfalls ungleich A (B + C), welches
gleich A erwiesen. Man bemerkt, dass E nur eine (d. i. eine "echte")
Untergruppe von A ist; wir haben:
E A
und folglich auch (durch beiderseitige Einsetzung des Gleichen):
A B + A C A (B + C)
womit nachgewiesen ist, dass es im logischen Kalkul mit Gruppen
Fälle gibt, in welchen die Formel des Distributionsgesetzes nur ein-
seitig als eine Unterordnung gilt.

Anhang 6.

Da C aus B hervorgeht, indem man b und c vertauscht, so braucht
die Probe auf Vollständigkeit blos bei den Gruppen A, B und D aus-
geführt zu werden: für diese aber ist sie von erster Wichtigkeit, da
auf der konstatirten Vollständigkeit die Beweiskraft der Überlegungen
beruht. [Man müsste sich hier also der nicht unerheblichen Mühe des
systematischen Intermultiplizirens und Interaddirens unterziehen.]

Nach dem aufgestellten Begriffe der logischen Summe von Gruppen
haben wir nun:
B + C = D,
weil G (a b, a c, b c) die Bestimmungselemente von G (a b, b c) und
G (a c, b c) in sich vereinigt. Daher ist:
A · (B + C) = A · D = A
— nach Th. 20×), weil ja A ⋹ D, wie oben erwähnt, sein musste.

Andrerseits ist es leicht, die Produkte A · B und A · C der ersten
Gruppe in die beiden auf sie folgenden zu ermitteln.

Sucht man die Elemente auf, welche die Gruppen A und B, nämlich
ihre Elementensysteme, gemein haben, so bildet deren System not-
wendig wieder eine Gruppe. Diese möge E heissen; so lehrt der blosse
Anblick von A und B, dass
E = G4 (a b c) = {0, 1, a b c, a1 + b1 + c1}
ist, und haben wir also:
A · B = E.

Ebenso zeigt sich aber auch, dass
A · C = E
ist (wie zum Überfluss auch schon aus der Symmetrie von E bezüg-
lich a, b, c hervorgeht).

Darnach wird sein müssen:
A · B + A · C = E + E = E.

Nun deckt aber E sich keineswegs mit A, es ist sonach auch
A B + A C verschieden von, jedenfalls ungleich A (B + C), welches
gleich A erwiesen. Man bemerkt, dass E nur eine (d. i. eine „echte“)
Untergruppe von A ist; wir haben:
E ⊂ A
und folglich auch (durch beiderseitige Einsetzung des Gleichen):
A B + A C ⊂ A (B + C)
womit nachgewiesen ist, dass es im logischen Kalkul mit Gruppen
Fälle gibt, in welchen die Formel des Distributionsgesetzes nur ein-
seitig als eine Unterordnung gilt.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <pb facs="#f0706" n="686"/>
          <fw place="top" type="header">Anhang 6.</fw><lb/>
          <p>Da <hi rendition="#i">C</hi> aus <hi rendition="#i">B</hi> hervorgeht, indem man <hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">c</hi> vertauscht, so braucht<lb/>
die Probe auf Vollständigkeit blos bei den Gruppen <hi rendition="#i">A, B</hi> und <hi rendition="#i">D</hi> aus-<lb/>
geführt zu werden: für diese aber ist sie von erster Wichtigkeit, da<lb/>
auf der konstatirten Vollständigkeit die Beweiskraft der Überlegungen<lb/>
beruht. [Man müsste sich hier also der nicht unerheblichen Mühe des<lb/>
systematischen Intermultiplizirens und Interaddirens unterziehen.]</p><lb/>
          <p>Nach dem aufgestellten Begriffe der logischen Summe von Gruppen<lb/>
haben wir nun:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">B</hi> + <hi rendition="#i">C</hi> = <hi rendition="#i">D</hi>,</hi><lb/>
weil <hi rendition="#i">G</hi> (<hi rendition="#i">a b</hi>, <hi rendition="#i">a c</hi>, <hi rendition="#i">b c</hi>) die Bestimmungselemente von <hi rendition="#i">G</hi> (<hi rendition="#i">a b</hi>, <hi rendition="#i">b c</hi>) und<lb/><hi rendition="#i">G</hi> (<hi rendition="#i">a c</hi>, <hi rendition="#i">b c</hi>) in sich vereinigt. Daher ist:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> · (<hi rendition="#i">B</hi> + <hi rendition="#i">C</hi>) = <hi rendition="#i">A</hi> · <hi rendition="#i">D</hi> = <hi rendition="#i">A</hi></hi><lb/>
&#x2014; nach Th. 20<hi rendition="#sub">×</hi>), weil ja <hi rendition="#i">A</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">D</hi>, wie oben erwähnt, sein musste.</p><lb/>
          <p>Andrerseits ist es leicht, die Produkte <hi rendition="#i">A</hi> · <hi rendition="#i">B</hi> und <hi rendition="#i">A</hi> · <hi rendition="#i">C</hi> der ersten<lb/>
Gruppe in die beiden auf sie folgenden zu ermitteln.</p><lb/>
          <p>Sucht man die Elemente auf, welche die Gruppen <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi>, nämlich<lb/>
ihre Elementensysteme, gemein haben, so bildet deren System not-<lb/>
wendig wieder eine Gruppe. Diese möge <hi rendition="#i">E</hi> heissen; so lehrt der blosse<lb/>
Anblick von <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi>, dass<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">E</hi> = <hi rendition="#i">G</hi><hi rendition="#sub">4</hi> (<hi rendition="#i">a b c</hi>) = {0, 1, <hi rendition="#i">a b c</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>}</hi><lb/>
ist, und haben wir also:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> · <hi rendition="#i">B</hi> = <hi rendition="#i">E</hi>.</hi></p><lb/>
          <p>Ebenso zeigt sich aber auch, dass<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> · <hi rendition="#i">C</hi> = <hi rendition="#i">E</hi></hi><lb/>
ist (wie zum Überfluss auch schon aus der Symmetrie von <hi rendition="#i">E</hi> bezüg-<lb/>
lich <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi> hervorgeht).</p><lb/>
          <p>Darnach wird sein müssen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> · <hi rendition="#i">B</hi> + <hi rendition="#i">A</hi> · <hi rendition="#i">C</hi> = <hi rendition="#i">E</hi> + <hi rendition="#i">E</hi> = <hi rendition="#i">E</hi>.</hi></p><lb/>
          <p>Nun deckt aber <hi rendition="#i">E</hi> sich keineswegs mit <hi rendition="#i">A</hi>, es ist sonach auch<lb/><hi rendition="#i">A B</hi> + <hi rendition="#i">A C</hi> verschieden von, jedenfalls <hi rendition="#i">ungleich A</hi> (<hi rendition="#i">B</hi> + <hi rendition="#i">C</hi>), welches<lb/>
gleich <hi rendition="#i">A</hi> erwiesen. Man bemerkt, dass <hi rendition="#i">E nur</hi> eine (d. i. eine &#x201E;echte&#x201C;)<lb/>
Untergruppe von <hi rendition="#i">A</hi> ist; wir haben:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">E</hi> &#x2282; <hi rendition="#i">A</hi></hi><lb/>
und folglich auch (durch beiderseitige Einsetzung des Gleichen):<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A B</hi> + <hi rendition="#i">A C</hi> &#x2282; <hi rendition="#i">A</hi> (<hi rendition="#i">B</hi> + <hi rendition="#i">C</hi>)</hi><lb/>
womit nachgewiesen ist, dass es im logischen Kalkul mit Gruppen<lb/>
Fälle gibt, in welchen die Formel des Distributionsgesetzes nur ein-<lb/>
seitig als eine Unterordnung gilt.</p><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[686/0706] Anhang 6. Da C aus B hervorgeht, indem man b und c vertauscht, so braucht die Probe auf Vollständigkeit blos bei den Gruppen A, B und D aus- geführt zu werden: für diese aber ist sie von erster Wichtigkeit, da auf der konstatirten Vollständigkeit die Beweiskraft der Überlegungen beruht. [Man müsste sich hier also der nicht unerheblichen Mühe des systematischen Intermultiplizirens und Interaddirens unterziehen.] Nach dem aufgestellten Begriffe der logischen Summe von Gruppen haben wir nun: B + C = D, weil G (a b, a c, b c) die Bestimmungselemente von G (a b, b c) und G (a c, b c) in sich vereinigt. Daher ist: A · (B + C) = A · D = A — nach Th. 20×), weil ja A ⋹ D, wie oben erwähnt, sein musste. Andrerseits ist es leicht, die Produkte A · B und A · C der ersten Gruppe in die beiden auf sie folgenden zu ermitteln. Sucht man die Elemente auf, welche die Gruppen A und B, nämlich ihre Elementensysteme, gemein haben, so bildet deren System not- wendig wieder eine Gruppe. Diese möge E heissen; so lehrt der blosse Anblick von A und B, dass E = G4 (a b c) = {0, 1, a b c, a1 + b1 + c1} ist, und haben wir also: A · B = E. Ebenso zeigt sich aber auch, dass A · C = E ist (wie zum Überfluss auch schon aus der Symmetrie von E bezüg- lich a, b, c hervorgeht). Darnach wird sein müssen: A · B + A · C = E + E = E. Nun deckt aber E sich keineswegs mit A, es ist sonach auch A B + A C verschieden von, jedenfalls ungleich A (B + C), welches gleich A erwiesen. Man bemerkt, dass E nur eine (d. i. eine „echte“) Untergruppe von A ist; wir haben: E ⊂ A und folglich auch (durch beiderseitige Einsetzung des Gleichen): A B + A C ⊂ A (B + C) womit nachgewiesen ist, dass es im logischen Kalkul mit Gruppen Fälle gibt, in welchen die Formel des Distributionsgesetzes nur ein- seitig als eine Unterordnung gilt.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/706
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 686. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/706>, abgerufen am 01.05.2024.