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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Anhang 6.
ebendiese drei Symbole, so ergibt sich als die gedachte volle Resultante
nur: 0 = 0.

Der Aussagenbereich, mit dem wir es im vorliegenden ersten Bande
der exakten Logik ausschliesslich zu thun haben, war auf die universalen
Urteile beschränkt, umfasste nämlich nur, was mittelst Gleichungen oder
Subsumtionen ausdrückbar ist.

In diesem Bereiche kann ein unmittelbarer Widerspruch (S. 6) über-
haupt nicht vorkommen, sintemal bekanntlich das kontradiktorische Gegen-
teil einer universalen allemal eine partikulare Behauptung ist -- vergl. S. 33.
Gleichwol kann mittelbar, innerlich, auch schon auf dieser ersten Logik-
etappe ein Widerspruch zwischen sowol als in Aussagen auftreten, insofern
sie zusammen oder für sich schon auf die Behauptung 1 = 0 hinaus-
laufen oder zu schliessen gestatten -- zusammen, wie z. B. die Gleichungen
a = 0 und a1 = 0, und für sich schon, wie z. B. x + x1 = 0, oder wie
a x y1 + a1 + x1 + y = 0 -- womit sie denn in unmittelbaren Widerspruch
treten würden zu der allen unsern Betrachtungen implicite zugrunde liegenden
Annahme, dass 1 nicht gleich, 0 sei.

Dass dergleichen nun hier nicht vorliegen kann, ist mit obigem dar-
gethan.

Und wie sollten auch jene Prämissen x = ph (a, b, ..), y = ps (a, ..),
... einen Widerspruch mit einander involviren, da durch eine jede der-
selben doch nur festgesetzt wird, was unter dem Buchstaben linker-
hand verstanden werden solle, einem Buchstaben, der neu, noch un-
erwähnt war, und auf den in den übrigen Prämissen auch keinerlei
Bezug genommen ist?!

Aus diesen Gründen wird uns also die absurde Resultante über-
haupt nicht in den Weg kommen und mag fortan unberücksichtigt
bleiben. --

Als in x, y, z symmetrische Resultanten können nun überhaupt nur
folgende fünfzehn -- von achterlei Typus -- auftreten *), für die wir
die beigesetzten Chiffren einführen:

R0) 0 = 0.
R1) x y z = 0, R1') x1 y1 z1 = 0.
R2) x y z + x1 y1 z1 = 0.
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R4') x1 y1 z1 + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 = 0 oder y1 z1 + z1 x1 + x1 y1 = 0.
R5) x y z + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 = 0 oder x = y z1 + y1 z
*) Bei Mitberücksichtigung der absurden Resultante: R9), nämlich 1 = 0 wären
es 16 Resultanten von 9 verschiedenen Typen.

Anhang 6.
ebendiese drei Symbole, so ergibt sich als die gedachte volle Resultante
nur: 0 = 0.

Der Aussagenbereich, mit dem wir es im vorliegenden ersten Bande
der exakten Logik ausschliesslich zu thun haben, war auf die universalen
Urteile beschränkt, umfasste nämlich nur, was mittelst Gleichungen oder
Subsumtionen ausdrückbar ist.

In diesem Bereiche kann ein unmittelbarer Widerspruch (S. 6) über-
haupt nicht vorkommen, sintemal bekanntlich das kontradiktorische Gegen-
teil einer universalen allemal eine partikulare Behauptung ist — vergl. S. 33.
Gleichwol kann mittelbar, innerlich, auch schon auf dieser ersten Logik-
etappe ein Widerspruch zwischen sowol als in Aussagen auftreten, insofern
sie zusammen oder für sich schon auf die Behauptung 1 = 0 hinaus-
laufen oder zu schliessen gestatten — zusammen, wie z. B. die Gleichungen
a = 0 und a1 = 0, und für sich schon, wie z. B. x + x1 = 0, oder wie
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treten würden zu der allen unsern Betrachtungen implicite zugrunde liegenden
Annahme, dass 1 nicht gleich, ≠ 0 sei.

Dass dergleichen nun hier nicht vorliegen kann, ist mit obigem dar-
gethan.

Und wie sollten auch jene Prämissen x = φ (a, b, ‥), y = ψ (a, ‥),
… einen Widerspruch mit einander involviren, da durch eine jede der-
selben doch nur festgesetzt wird, was unter dem Buchstaben linker-
hand verstanden werden solle, einem Buchstaben, der neu, noch un-
erwähnt war, und auf den in den übrigen Prämissen auch keinerlei
Bezug genommen ist?!

Aus diesen Gründen wird uns also die absurde Resultante über-
haupt nicht in den Weg kommen und mag fortan unberücksichtigt
bleiben. —

Als in x, y, z symmetrische Resultanten können nun überhaupt nur
folgende fünfzehn — von achterlei Typus — auftreten *), für die wir
die beigesetzten Chiffren einführen:

R0) 0 = 0.
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R5) x y z + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 = 0 oder x = y z1 + y1 z
*) Bei Mitberücksichtigung der absurden Resultante: R9), nämlich 1 = 0 wären
es 16 Resultanten von 9 verschiedenen Typen.
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[688/0708] Anhang 6. ebendiese drei Symbole, so ergibt sich als die gedachte volle Resultante nur: 0 = 0. Der Aussagenbereich, mit dem wir es im vorliegenden ersten Bande der exakten Logik ausschliesslich zu thun haben, war auf die universalen Urteile beschränkt, umfasste nämlich nur, was mittelst Gleichungen oder Subsumtionen ausdrückbar ist. In diesem Bereiche kann ein unmittelbarer Widerspruch (S. 6) über- haupt nicht vorkommen, sintemal bekanntlich das kontradiktorische Gegen- teil einer universalen allemal eine partikulare Behauptung ist — vergl. S. 33. Gleichwol kann mittelbar, innerlich, auch schon auf dieser ersten Logik- etappe ein Widerspruch zwischen sowol als in Aussagen auftreten, insofern sie zusammen oder für sich schon auf die Behauptung 1 = 0 hinaus- laufen oder zu schliessen gestatten — zusammen, wie z. B. die Gleichungen a = 0 und a1 = 0, und für sich schon, wie z. B. x + x1 = 0, oder wie a x y1 + a1 + x1 + y = 0 — womit sie denn in unmittelbaren Widerspruch treten würden zu der allen unsern Betrachtungen implicite zugrunde liegenden Annahme, dass 1 nicht gleich, ≠ 0 sei. Dass dergleichen nun hier nicht vorliegen kann, ist mit obigem dar- gethan. Und wie sollten auch jene Prämissen x = φ (a, b, ‥), y = ψ (a, ‥), … einen Widerspruch mit einander involviren, da durch eine jede der- selben doch nur festgesetzt wird, was unter dem Buchstaben linker- hand verstanden werden solle, einem Buchstaben, der neu, noch un- erwähnt war, und auf den in den übrigen Prämissen auch keinerlei Bezug genommen ist?! Aus diesen Gründen wird uns also die absurde Resultante über- haupt nicht in den Weg kommen und mag fortan unberücksichtigt bleiben. — Als in x, y, z symmetrische Resultanten können nun überhaupt nur folgende fünfzehn — von achterlei Typus — auftreten *), für die wir die beigesetzten Chiffren einführen: R0) 0 = 0. R1) x y z = 0, R1') x1 y1 z1 = 0. R2) x y z + x1 y1 z1 = 0. R3) x1 y z + y1 z x + z1 x y = 0, R3') x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 = 0. R4) x y z + x1 y z + y1 z x + z1 x y = 0 oder y z + z x + x y = 0 R4') x1 y1 z1 + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 = 0 oder y1 z1 + z1 x1 + x1 y1 = 0. R5) x y z + x y1 z1 + y z1 x1 + z x1 y1 = 0 oder x = y z1 + y1 z *) Bei Mitberücksichtigung der absurden Resultante: R9), nämlich 1 = 0 wären es 16 Resultanten von 9 verschiedenen Typen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 688. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/708>, abgerufen am 01.05.2024.